餘弦距離

原文:https://blog.csdn.net/lucky_kai/article/details/89514868
概述： 在機器學習領域中，通常將特徵表示為向量的形式，所以在分析兩個特徵向量之間的相似性時，常用餘弦相似度表示。例如將兩篇文章向量化，餘弦距離可以避免因為文章的長度不同而導致距離偏大，餘弦距離只考慮兩篇文章生成的向量的夾角。
餘弦相似度的取值範圍是[-1,1]，相同兩個向量的之間的相似度為1。
餘弦距離的取值範圍是[0,2]。
餘弦相似度的定義公式為$cos(A,B)=\frac{A\cdot B}{{\Vert A\Vert }_2{\Vert B\Vert }_2}$
歸一化後${\Vert A\Vert }_2=1$,${\Vert B\Vert }_2=1$,
${\Vert A\Vert }_2{\Vert B\Vert }_2=1$
餘弦距離：
$dist(A,B)=1-cos(A,B)=\frac{{\Vert A\Vert }_2{\Vert B\Vert }_2-A\cdot B}{{\Vert A\Vert {}_2\Vert B\Vert }_2}$
歐式距離：
${\Vert A-B\Vert }^2={\Vert A\Vert }^2+{\Vert B\Vert }^2-2A\cdot B=2-2A\cdot B=\sqrt[]{2dist(A,B)}$

由公式可以看出歸一化後，歐式距離與餘弦距離存在單調性關係。此時兩種距離的值域都為[0,2]。

歐式距離與餘弦距離的對比：
1.歐式距離的數值受到維度的影響，餘弦相似度在高維的情況下也依然保持低維完全相同時相似度為1等性質。
2.歐式距離體現的是距離上的絕對差異，餘弦距離體現的是方向上的相對差異。

不同情況不同選擇：
1.兩個人分別取了藍球(1,0)與紅球(0,1)，這兩個向量的歐式距離較小，可是事實是這兩個球是不同的,而餘弦距離為2表示的是完全不同的意思。所以在這種情況下選擇餘弦距離更具合理性

2.兩個人對APP的使用次數與使用時長分別表示為(1,10),(10,100),可知餘弦相似度較小，說明這兩個人的行為時相同的，可是，事實是不同的，兩個人的活躍度有著極大的差異，第二個人的活躍度更高

餘弦距離滿足正定性和對稱性，但是不滿足三角不等式，因此餘弦距離不是一個嚴格定義的距離。

距離的定義：
在一個集合中，如果每一對元素均可唯一確定一個實數，使得三條距離公理（正定性，對稱性，三角不等式）成立，則該實數可以稱為這對元素之間的距離。