ABC363 DEF 題解
前情提要：賽時過了 ABCE。
D - Palindromic Number
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其實賽時已經看出了一些性質，但沒想完做法，賽後看題解才發現這麼簡單/fn
首先，為了方便，我們不把 \(0\) 視作迴文數（因此需要特判一下 \(n = 1\) 的情況）。
下面要證明：\(d\) 位迴文數有 \(10^{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 10^{{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 1}\) 個。這裡，我們定義 \(d\) 位不含前導零迴文數的數量為 \(\operatorname{palin}(d)\)，則欲證的命題為 \(\operatorname{palin}(d) = 10^{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 10^{{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 1}\)。
（這個數列在 OEIS 上面標號為 A050683）
證明這個結論的要點在於：如果一個數是迴文數，它就可以由它的“前一半”數位確定。例如，如果已知一個 \(8\) 位迴文數的前 \(4\) 位是 \(1827\)，那麼這個迴文數就一定是 \(18277281\)。所以 \(d\) 位迴文數的個數，實際上就是“前一半”數位能產生的數的個數。下面以 \(d\) 為偶數來討論。
如果 \(d\) 是偶數：\(d\) 的前一半數位有 \(d / 2\) 位，而 \(d / 2\) 位的整數有 \(10^{\frac{d}{2}}\) 個，但這些整數有的包含了前導零。包含了前導零的整數的數量，可以看作確定第一位為 \(0\)，剩下 \(d/2 - 1\) 位產生的整數的數量。這個數量是 \(10^{\frac{d}{2} - 1}\)。綜上所述，\(d / 2\) 位的不含前導零的整數的個數為 \(10^{\frac{d}{2}} - 10^{\frac{d}{2} - 1}\)。
\(d\) 為奇數的情況依法類推。總之，如果把奇偶的表示式合併，就得到了欲證的式子：\(\operatorname{palin}(d) = 10^{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 10^{{\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor} - 1}\)。
得到這個結論以後，我們列舉位數 \(d\)，不斷從 \(n\) 減去 \(\operatorname{palin}(d)\)，直到 \(n \le \operatorname{palin}(d)\)，這就說明欲求的迴文數的位數是 \(d\)，並且它是第 \(n\) 個 \(d\) 位迴文數（這裡的 \(n\) 指的是已經減去了位數小於 \(d\) 的迴文數個數的 \(n\)，下同）。
再次運用迴文數的性質：迴文數可以由它的前一半數位決定。對於 \(d\) 位迴文數，它的前一半數位就是前 \(\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor\) 位。所以我們只要求出第 \(n\) 個不含前導零的 \(\left\lfloor \frac{d+1}{2} \right\rfloor\) 位數即可，這點不難實現。求出以後，把它翻轉並拼接到自己的末尾，所得的就是欲求的迴文數。
參考程式碼
E - Sinking Land
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依題意，可以得到一個地塊沉沒所需的兩個條件：
- 該地塊的海拔小於等於海平面。
- 該地塊臨海，或者與某個已沉沒的地塊相鄰。（下面簡單地把這個條件成為“臨海”）
第一個條件中，海拔是一開始就確定的。而第二個條件中，一個地塊什麼時候臨海，是動態的。並且一個地塊只要在某個時刻開始臨海，它在之後的時刻就會一直臨海，直到沉沒。
我們可以用優先佇列維護地塊的“臨海”狀態——把所有臨海的地塊都加入優先佇列中。具體地，在優先佇列中，我們按地塊的海拔從小到大排序。每次海平面升高，就彈出隊首的所有海拔不超過海平面的地塊，同時計數以得到答案。如果某個地塊沉沒了，就把它的所有相鄰地塊都加入到優先佇列中（如果這些地塊還未被加入），表示這些地塊也開始臨海。
在這一過程中，需要記錄每個地塊是否被加入到佇列中，以防重複統計。同時，由於每個地塊只會被加入一次，所以時間複雜度為 \(O(n^2 \log n^2)\)（這裡的 \(n^2\) 指題目中的 \(H\times W\)）。
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F - Palindromic Expression
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賽時沒思路，賽後看了題解才知道搜尋/fn（這麼大的數除了搜尋還能是什麼？？）
觀察發現，如果一個數 \(n\) 能用迴文表示式表達，有三種情況：
n，如果 \(n\) 本身就是迴文數。x*rev(x)，其中rev(x)表示x的倒序書寫。x*(expression)*rev(x)，期中(expression)也是一個迴文表示式。
實際上，第二種情況可以不必討論，因為可以把它看作 x*1*rev(x)，這樣就歸到了第三種情況中。
於是我們可以設計出函式 \(f(n)\)，它返回值為 \(n\) 的迴文表示式。如果不存在這樣的表示式，就返回空串。它的工作原理如下：
-
如果 \(n\) 是迴文數，直接返回 \(n\)。
-
否則，列舉 \(n\) 的因子 \(d\)。如果 \(\operatorname{rev}(d) \times d\) 也是 \(n\) 的因子，那麼 \(n\) 就有可能由
d*(expression)*rev(d)表達，其中(expression)是一個值為 \(n / (\operatorname{rev}(d) \times d)\) 的迴文表示式。於是遞迴求解 \(f(n / (\operatorname{rev}(d) \times d))\) 即可。顯然，在列舉因子 \(d\) 時，我們只需要嘗試小於 \(\sqrt{n}\) 的整數。原因如下：如果存在一個大於 \(\sqrt{n}\) 的整數 \(d\)，使得 \(d \times \operatorname{rev}(d)\) 是 \(n\) 的因子，那麼 \(\operatorname{rev}(d)\) 一定小於 \(\sqrt{n}\) 並且也是 \(n\) 的因子，而這樣的數我們肯定已經列舉過了。透過這個限制，我們就可以大大降低時間複雜度。
需要注意的是，由於表示式中不能含有 \(0\)，所以要判斷 \(d\) 中是否有 \(0\)。
時間複雜度分析：還不會，但官方題解說上界是 \(O(\sigma^2(n))\)。
參考程式碼