ABC364 DEF 題解
D - K-th Nearest
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賽時想了一個（也許確實是對的）做法，但是程式碼太難寫，一直沒寫出來……看了官方題解才發現正解其實也很簡單……
本題最關鍵的一點是要轉換思路：與其考慮“離某個點第 \(k\) 近的點在哪”，不如考慮“離某個點距離不超過 \(x\) 的點有多少個”。想到這一步轉換，這道題就完成 \(80\%\) 了，因為之後的想法都非常順理成章。
設 \(f_i(x)\) 表示在 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 中，離 \(B_i\) 距離不超過 \(x\) 的點的數量。不難看出，只要找到最小的滿足 \(f_i(x) \ge k_i\) 的 \(x\)，那麼 \(x\) 就是答案。而 \(f_i(x)\) 顯然是單調遞增的，所以可以二分。
最後，如何計算 \(f_i(x)\) 呢？可以將 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 從小到大排序，然後我們要做的就是計算落在 \([B_i - x, B_i + x]\) 中的點數。因為 \(A\) 已經有序了，可以簡單地使用 lower_bound 和 upper_bound 來查詢。
AC 記錄
E - Maximum Glutton
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看到這題，首先想到二維費用揹包：設 \(f(i, x, y)\) 表示在前 \(i\) 道菜餚中，甜度不超過 \(x\)，鹹度不超過 \(y\) 的情況下，最多能吃多少道菜餚。需要注意，因為甜度或鹹度超過限度時才會停止，所以在吃掉 \(f(N, X, Y)\) 道菜餚之後，他還可以再吃一道（如果還有菜餚的話），因此答案為 \(\min(N, f(N, X, Y) + 1)\)。
但是，二維費用揹包的時間複雜度是 \(O(NXY)\)，在本題中無法接受。注意到 \(N\) 很小，這時應該考慮改變狀態設計，並儘可能在下標中用和 \(N\) 有關的量替換掉 \(X\)、\(Y\) 有關的量，這樣就可能減小時間複雜度。
重新設計狀態：設 \(f(i, j, k)\) 表示在前 \(i\) 道菜餚中選擇 \(j\) 道吃掉，使得總甜度值為 \(k\) 時，這些菜餚的最小總鹽度值。這樣，狀態的前兩個維度都和 \(N\) 有關，又因為轉移的時間複雜度是 \(O(1)\)（見下），所以總的時間複雜度就降到了 \(O(N^{2}X)\)。想到這樣設計狀態，接下來也就十分簡單了。
答案統計：找到最大的滿足 \(f(N, j, k) \le Y\) 的 \(j\)，則答案為 \(\min(N, j+1)\)。（\(0 \le k \le X\)）
轉移方程：\(f(i, j, k) = \min(f(i-1, j, k), f(i-1, j-1, k-a_i)+b_i)\)，括號中兩項分別考慮選擇和不選擇第 \(i\) 道菜餚。
初始化：\(f(i, j, k) = \begin{cases} 0, j=k=0 \\ +\infty, \text{Otherwise} \end{cases}\)
AC 記錄
最佳化：由於 \(f(i,*,*)\) 只和 \(f(i-1,*,*)\) 有關，所以可以把第一維滾掉，空間複雜度降到 \(O(NX)\)。注意迴圈要改成倒序。
AC 記錄
F - Range Connect MST
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看到要求最小生成樹，首先想到 Kruskal。先回憶一下 Kruskal 的流程：
- 將所有邊按邊權從小到大排序。
- 依次遍歷所有邊。對於每條邊，如果它連線的兩點不在同一連通塊中，則把這條邊加入 MST。
對於本題來說，難點在於第二步：邊數最多可以達到 \(NQ\)，不可能真的遍歷每條邊。然而，我們真的必須遍歷每條邊嗎？
首先，編號大於 \(N\) 的節點是不重要的，下面我們只關心編號小於 \(N\) 的節點。注意到題目中加邊的形式：每次加邊都會將 \([L_i, R_i]\) 中的點練成一個連通塊。也就是說，如果任意的兩點 \(A\)，\(B\) 聯通，那麼所有滿足 \(A \le x \le B\) 的點 \(x\) 都和 \(A\)，\(B\) 在同一連通塊中。
以樣例 1 為例，用不同顏色代表不同連通塊：
初始時，所有節點互不連通。
第一次操作，把 \(1\)，\(2\) 號節點連通：
第二次操作，把 \(1\)，\(2\)，\(3\) 號節點所在的連通塊連通：
第三次操作，把 \(2\)，\(3\)，\(4\) 號節點所在的連通塊連通：
於是可以想到，把邊權排序後，對於每次加邊操作，從 \(L_i\) 開始，不斷跳到當前點所在連通塊最右邊的（即編號最大）節點（不妨稱這個節點的編號為 \(x\)），然後在 \(x\) 和 \(x+1\) 之間連邊，直到跳出加邊的區間。每次加邊的時候，統計一下答案即可。（可以根據上面的圖示理解。）以及，別忘了每次操作時，我們還要從編號大於 \(N\) 的節點向編號小於 \(N\) 的節點連一條邊（否則不連通），統計答案時記得加上。
連通性顯然可以用並查集維護。為了方便快速找到當前連通塊最右邊的節點，可以直接用最右邊的節點作為這個連通塊的代表元，這需要在 merge 的時候注意一下引數的順序（詳見程式碼）。
參考程式碼
PS：ABC352E 也是一道相似的用 Kruskal 求最小生成樹的題，可以去嘗試一下。