大家在學習資訊學競賽的過程中，總是會遇到要求計算結果對 \(10^9+7\) 或者 \(10007\) 這樣的數取餘數的結果，比如：http://codeforces.com/problemset/problem/1423/J
連結中的題目中就有一句話：
For each test case \(i\), print the answer on separate lines: number of polynomials \(P\) as described in statement such that \(P(2)=m_i\), modulo \(10^9+7\).
那麼為什麼要對 \(10^9+7\) 呢？
最主要的原因是一些運算的結果會很大，如果不在計算的過程中模 \(10^9+7\)（或者別的一些數），答案可能會超過 long long 的表示範圍。而如果兩個數 \(a,b\) 滿足 \(0 \le a,b \lt 10^9+7\)，則對其進行加、減、乘、除（整除或取餘）操作，都不會讓結果超過 long long 的表示範圍（當然，除法運算會複雜一點，不能簡單地除，除以 \(a\) 需要轉變為乘以 \(a\) 的逆，這部分不作為這篇隨筆的討論範圍），然後計算的結果再對 \(10^9+7\) 取餘，又能保證結果小於 \(10^9+7\) 了。
同時，對於算術運算，我們能夠證明在計算過程中不停地模一個數，和計算完了之後再模這個數的結果是一樣的。這部分相信學過 同餘 的同學應該也都能夠理解。
所以最主要的目的就是：讓我們的計算過程用 long long 就可以解決。
那麼為什麼一般都選擇 \(10^9+7\) 或者 \(10007\) 這樣的數呢？
我們會發現一般取餘的數都是 素數 ，這也是有原因的。
假設我要輸出的是答案模 \(m\) 的結果（即答案除以 \(m\) 的餘數）。假設 \(m\) 是有一個有較多約數的數，同時在資料中存在 \(q\) 滿足 \(gcd(m,q) = d \gt 1\) （即假設有一個數 \(q\) ，它和 \(m\) 的最大公約數是一個大於 \(1\) 的數 \(d\)），即存在 —— \(m = a \times d, q = b \times d\)，則有以下等式：
（這裡 \([x]\) 表示 \(x\) 向下取整的結果）其中 \(b/a\) 的結果是 \([0,b]\) 範圍內的正整數，也就是說，\([b/a]\) 的結果只有 \(b+1\) 種可能，而 \(m\) 是一個預先確定的數。因此，上式的值就只有 \(b+1\) 種可能了。這樣，雖然模運算之後的餘數仍然在 \([0,m-1]\) 範圍內，但是它的取值僅限於等式可能取到的那些值，也就是說餘數的分佈變得不均勻了。所以，\(m\) 的約數越多，發生這種餘數不均勻的情況就越頻繁，衝突的機率就越高。而素數的約數是最少的，因此一般選 \(m\) 為小於某個區域長度的最大素數。於是 \(10^9+7\) 就變成一個很合適的選擇方案，一方面能保證記起來比較方便，另一方面也能保證模 \(10^9+7\) 的結果不會超出 long long 表示範圍。