我們先端上來一個美味的結論。
對於一張有 \(n\) 個點的競賽圖 \(G\)，它的 SCC 數量等於：
- 將 \(G\) 的 \(n\) 個點劃分為兩個點集 \(S\) 和 \(T\)，且要求 \(|T|>0\)，對於任意的 \(u\in S\) 和 \(v\in T\)，\(u\) 和 \(v\) 之間的連邊方向為 \(u\to v\) 的方案數。
考慮將圖 \(G\) 進行縮點，競賽圖縮點後的形態一定是 \(scc_1\to scc_2\to\ldots\to scc_k\) 這麼一條鏈，同時鏈上每個點再向後面所有點連邊。然後我們任選一個 \(0\le p<k\)，將 \(scc_p\) 及它前面的 \(scc\) 內部的點劃分到 \(S\)，將 \(scc_{p+1}\) 到 \(scc_k\) 內部的點劃分到 \(T\)，容易發現和上面的方案正好構成雙射，且 \(p\) 的取值恰好為 \(k\) 種，也就是 SCC 個數。
ARC163D Sum of SCC
呃，根據上面的結論，直接數劃分點集且恰好 \(m\) 條正向邊的方案數。
直接設 \(f_{i,j,k}\) 表示當前已經給前 \(i\) 個點劃分好了點集，此時 \(|S|=j\)，有 \(k\) 條正向邊的方案數，轉移考慮刷表，討論 \(i+1\) 號點放到哪個集合：
-
放到 \(S\) 集合中，連到 \(T\) 內的 \(i-j\) 條邊全是反向邊，連到 \(S\) 內的 \(i\) 條邊任意定向，列舉 \(x\) 條邊為正向邊，有 \(f_{i+1,j+1,k+x}\leftarrow f_{i,j,k}\times\binom{j}{x}\)。
-
放到 \(T\) 集合中，從 \(S\) 內連來的 \(j\) 條邊全是正向邊，連到 \(T\) 內的 \(i-j\) 條邊任意定向，列舉 \(x\) 條邊為正向邊，有 \(f_{i+1,j,k+j+x}\leftarrow f_{i,j,k}\times\binom{i-j}{x}\)。
時間複雜度 \(O(n^5)\)。
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