中國大學生數學競賽（非數學專業類）競賽大綱

中國大學生數學競賽（非數學專業類）競賽大綱

中國大學生數學競賽（非數學專業類）競賽內容為大學本科理工科專業高等數學課程的教學內容，具體內容如下：

一、函式、極限、連續

1. 函式的概念及表示法、簡單應用問題的函式關係的建立.
2. 函式的性質：有界性、單調性、週期性和奇偶性.
3. 複合函式、反函式、分段函式和隱函式、基本初等函式的性質及其圖形、初等函式.
4. 數列極限與函式極限的定義及其性質、函式的左極限與右極限.
5. 無窮小和無窮大的概念及其關係、無窮小的性質及無窮小的比較.
6. 極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.
7. 函式的連續性（含左連續與右連續）、函式間斷點的型別.
8. 連續函式的性質和初等函式的連續性.
9. 閉區間上連續函式的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

二、一元函式微分學

1. 導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函式的可導性與連續性之間的關係、平面曲線的切線和法線.
2. 基本初等函式的導數、導數和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.
3. 複合函式、反函式、隱函式以及引數方程所確定的函式的微分法.
4. 高階導數的概念、分段函式的二階導數、某些簡單函式的n階導數.
5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
6. 洛必達(L’Hospital)法則與求未定式極限.
7. 函式的極值、函式單調性、函式圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函式圖形的描繪.
8. 函式最大值和最小值及其簡單應用.
9. 弧微分、曲率、曲率半徑.

三、一元函式積分學

1. 原函式和不定積分的概念.
2. 不定積分的基本性質、基本積分公式.
3. 定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函式及其導數、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.
5. 有理函式、三角函式的有理式和簡單無理函式的積分.
6. 廣義積分.
7. 定積分的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函式的平均值．

四、常微分方程

1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.
2. 變數可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
3. 可用簡單的變數代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .
4. 線性微分方程解的性質及解的結構定理.
5. 二階常係數齊次線性微分方程、高於二階的某些常係數齊次線性微分方程.
6. 簡單的二階常係數非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數函式、正弦函式、餘弦函式，以及它們的和與積
7. 尤拉(Euler)方程.
8. 微分方程的簡單應用

五、向量代數和空間解析幾何

1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積和向量積、向量的混合積.、
2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.
3. 向量的座標表示式及其運算、單位向量、方向數與方向餘弦.
4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.
5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.
6. 球面、母線平行於座標軸的柱面、旋轉軸為座標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.
7. 空間曲線的引數方程和一般方程、空間曲線在座標面上的投影曲線方程.

六、多元函式微分學

1. 多元函式的概念、二元函式的幾何意義.
2. 二元函式的極限和連續的概念、有界閉區域上多元連續函式的性質.
3. 多元函式偏導數和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.
4. 多元複合函式、隱函式的求導法.
5. 二階偏導數、方向導數和梯度.
6. 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.
7. 二元函式的二階泰勒公式.
8. 多元函式極值和條件極值、拉格朗日乘數法、多元函式的最大值、最小值及其簡單應用.

七、多元函式積分學

1. 二重積分和三重積分的概念及性質、二重積分的計算(直角座標、極座標)、三重積分的計算(直角座標、柱面座標、球面座標).
2. 兩類曲線積分的概念、性質及計算、兩類曲線積分的關係.
3. 格林(Green)公式、、已知二元函式全微分求原函式.
4. 兩類曲面積分的概念、性質及計算、兩類曲面積分的關係.
5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.
6. 重積分、曲線積分和曲面積分的應用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質量、質心、轉動慣量、引力、功及流量等)

八、無窮級數

1. 常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和、級數的基本性質與收斂的必要條件.
2. 幾何級數與p級數及其收斂性、正項級數收斂性的判別法、交錯級數與萊布尼茨(Leibniz)判別法.
3. 任意項級數的絕對收斂與條件收斂.
4. 函式項級數的收斂域與和函式的概念.
5. 冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）、收斂域與和函式.
6. 冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函式的連續性、逐項求導和逐項積分)、簡單冪級數的和函式的求法.
7. 初等函式的冪級數展開式.
8. 函式的傅立葉(Fourier)係數與傅立葉級數、狄利克雷(Dirichlei)定理、函式在[-l，l]上的傅立葉級數、函式在[0,l]上的正弦級數和餘弦級數