模冪運算-要求演算法返回冪運算a^b的計算結果與1337取模後的結果

life_start發表於2024-08-21
演算法

題目：模冪運算-要求演算法返回冪運算a^b的計算結果與1337取模後的結果

其中b是一個非常大的數，所以b使用陣列形式表示。即無法直接a^b%1337計算

此類問題的關鍵需要分治，拆分成更小規模的計算

1）對於a^b，如果b=1234，則a^1234 = a^4 *(a^123)^10

即a^b可以拆分後遞迴運算

2）對於取模運算，(a*b)%k= (a%k)*(b%k)%k

證明a=Ak +B，b=Ck+D

則a*b = ACk^2+ADk+BCk+BD

則a*b%k= BD%k=(a%k)*(b%k)%k

所以上述問題，a^1234方如果數值比較大，則可以a%k * a^1233 ，遞迴算出所有的

所以演算法為

/**
 * a的【1，2，3】冪次方取餘數1337，計算  其中【1，2，3】可以無限大
 */
public class Power {

    /**
     * a的【1，2，3】冪次方取餘數1337，計算  其中【1，2，3】可以無限大
     * @param args
     * @throws InterruptedException
     */

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
        BlockingDeque<Integer> blockingDeque = new LinkedBlockingDeque<>();
        blockingDeque.add(1);
        blockingDeque.add(2);
        blockingDeque.add(3);
        int a = 2;
        //1) a^[1,2,3] = a^3 * (a^[1,2])^10
        //2) a*b%c = (a%c)*(b%c)%c
        int i = superPower(a, blockingDeque);
        System.out.println(i);

    }


    public static int superPower(int a, BlockingDeque<Integer> blockingDeque) throws InterruptedException {
        if(blockingDeque.isEmpty()){
            return 1;
        }
        int last = blockingDeque.takeLast();
        int base = 1337;
        int part1 = myPower(a,last,base);
        int part2 = myPower(superPower(a,blockingDeque),10,base);
        return (part1*part2)%base;
    }


    public static int myPower(int a,int k,int base){
        a = a % base;
        int res = 1;
        for(int i=0;i<k;i++){
            res = res * a;
            res = res % base;
        }
        return res;
    }

　　

3）冪運算仍可以進一步最佳化

即a^b = a * a^b-1 b為奇數， = (a^(b/2))^2

則可以進一步最佳化為

import java.util.concurrent.BlockingDeque;
import java.util.concurrent.LinkedBlockingDeque;

/**
 * a的【1，2，3】冪次方取餘數1337，計算  其中【1，2，3】可以無限大
 */
public class Power2 {

    /**
     * a的【1，2，3】冪次方取餘數1337，計算  其中【1，2，3】可以無限大
     * @param args
     * @throws InterruptedException
     */

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
        BlockingDeque<Integer> blockingDeque = new LinkedBlockingDeque<>();
        blockingDeque.add(1);
        blockingDeque.add(2);
        blockingDeque.add(3);
        int a = 2;
        //1) a^[1,2,3] = a^3 * (a^[1,2])^10
        //2) a*b%c = (a%c)*(b%c)%c
        // 3) a^k =
        //        // 3.1) (a^[k/2])^2
        //        // 3.2) a * a^[k-1]
        int i = superPower2(a, blockingDeque);
        System.out.println(i);
        Double res = Math.pow(a,123)%1337;
        String s = String.valueOf(res);
        System.out.println(s.substring(0,s.length()-2));

    }


    public static int superPower2(int a, BlockingDeque<Integer> blockingDeque) throws InterruptedException {

        if(blockingDeque.isEmpty()){
            return 1;
        }
        int last = blockingDeque.takeLast();
        int base = 1337;
        int part1 = myPower2(a,last,base);
        int part2 = myPower2(superPower2(a,blockingDeque),10,base);
        return (part1*part2)%base;
    }


    public static int myPower2(int a,int k,int base){
        if(k==0){
            return 1;
        }
        a = a % base;
        if(1 == k%2){
            return (a*myPower2(a,k-1,base))%base;
        }else{
            int res = myPower2(a, k / 2, base);
            return (res*res)%base;
        }
    }
}

　　

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