計算機基礎：位運算

部落格遷移

簡介

計算機中的數在記憶體中都是以二進位制形式進行儲存的，用位運算就是直接對整數在記憶體中的二進位制位進行操作，因此其執行效率非常高，在程式中儘量使用位運算進行操作，這會大大提高程式的效能。

位操作符

& 與運算 兩個位都是 1 時，結果才為 1，否則為 0，如：

  1 0 0 1 1
& 1 1 0 0 1
------------------------------
  1 0 0 0 1

| 或運算 兩個位都是 0 時，結果才為 0，否則為 1，如：

  1 0 0 1 1
| 1 1 0 0 1
------------------------------
  1 1 0 1 1

^ 異或運算，兩個位相同則為 0，不同則為 1，如 ：

   1 0 0 1 1 
^  1 1 0 0 1
-----------------------------   
   0 1 0 1 0 

~ 取反運算，0 則變為 1，1 則變為 0，如：

~   
1 0 0 1 1 
-----------------------------    
0 1 1 0 0

​<< 左移運算，向左進行移位操作，高位丟棄，低位補 0，如：

int a = 8;
a << 3;
移位前：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
移位後：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000

>> 右移運算，向右進行移位操作，對無符號數，高位補 0，對於有符號數，高位補符號位，如：

unsigned int a = 8;
a >> 3;
移位前：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
移位後：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
​
int a = -8;
a >> 3;
移位前：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000
移位前：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

常見位運算問題

1. 位操作實現乘除法

數 a 向右移一位，相當於將 a 除以 2；數 a 向左移一位，相當於將 a 乘以 2

int a = 2;
a >> 1; ---> 1
a << 1; ---> 4

2. 位操作交換兩數

位操作交換兩數可以不需要第三個臨時變數，雖然普通操作也可以做到，但是沒有其效率高

// 普通操作
void swap(int &a, int &b) {
  a = a + b;
  b = a - b;
  a = a - b;
}

// 位與操作
void swap(int &a, int &b) {
  a ^= b;
  b ^= a;
  a ^= b;
}

位與操作解釋：第一步：a ^= b —> a = (a^b);

第二步：b ^= a —> b = b^(ab) —> b = (b^b)a = a

第三步：a ^= b —> a = (a^b)a = (a^a)b = b

3. 位操作判斷奇偶數

​只要根據數的最後一位是 0 還是 1 來決定即可，為 0 就是偶數，為 1 就是奇數。

if(0 == (a & 1)) {
 // 偶數
}

4. 位操作交換符號

交換符號將正數變成負數，負數變成正數

int reversal(int a) {
  return ~a + 1;
}

整數取反加1，正好變成其對應的負數(補碼錶示)；負數取反加一，則變為其原碼，即正數

5. 位操作求絕對值

整數的絕對值是其本身，負數的絕對值正好可以對其進行取反加一求得，即我們首先判斷其符號位（整數右移 31 位得到 0，負數右移 31 位得到 -1,即 0xffffffff），然後根據符號進行相應的操作

int abs(int a) {
  int i = a >> 31;
  return i == 0 ? a : (~a + 1);
}

上面的操作可以進行優化，可以將 i == 0 的條件判斷語句去掉。我們都知道符號位 i 只有兩種情況，即 i = 0 為正，i = -1 為負。對於任何數與 0 異或都會保持不變，與 -1 即 0xffffffff 進行異或就相當於對此數進行取反,因此可以將上面三目元算符轉換為((a^i)-i)，即整數時 a 與 0 異或得到本身，再減去 0，負數時與 0xffffffff 異或將 a 進行取反，然後在加上 1，即減去 i(i =-1)

int abs2(int a) {
  int i = a >> 31;
  return ((a^i) - i);
}

6. 位操作進行高低位交換

給定一個 16 位的無符號整數，將其高 8 位與低 8 位進行交換，求出交換後的值，如：

34520的二進位制表示：
10000110 11011000

將其高8位與低8位進行交換，得到一個新的二進位制數：
11011000 10000110
其十進位制為55430

從上面移位操作我們可以知道，只要將無符號數 a>>8 即可得到其高 8 位移到低 8 位，高位補 0；將 a<<8 即可將 低 8 位移到高 8 位，低 8 位補 0，然後將 a>>8 和 a<<8 進行或操作既可求得交換後的結果。

unsigned short a = 34520;
a = (a >> 8) | (a << 8);

7. 位操作進行二進位制逆序

將無符號數的二進位制表示進行逆序，求取逆序後的結果，如

數34520的二進位制表示：
10000110 11011000

逆序後則為：
00011011 01100001
它的十進位制為7009

在字串逆序過程中，可以從字串的首尾開始，依次交換兩端的資料。在二進位制中使用位的高低位交換會更方便進行處理，這裡我們分組進行多步處理。

• 第一步:以每 2 位為一組，組內進行高低位交換

交換前： 10 00 01 10 11 01 10 00
交換後： 01 00 10 01 11 10 01 00

• 第二步：在上面的基礎上，以每 4 位為 1 組，組內高低位進行交換

交換前： 0100 1001 1110 0100
交換後： 0001 0110 1011 0001

• 第三步：以每 8 位為一組，組內高低位進行交換

交換前： 00010110 10110001
交換後： 01100001 00011011

• 第四步：以每16位為一組，組內高低位進行交換

交換前： 0110000100011011
交換後： 0001101101100001

對於上面的第一步，依次以 2 位作為一組，再進行組內高低位交換，這樣處理起來比較繁瑣，下面介紹另外一種方法進行處理。先分別取原數 10000110 11011000 的奇數位和偶數位，將空餘位用 0 填充：

原數：  10000110 11011000
奇數位： 10000010 10001000
偶數位： 00000100 01010000

再將奇數位右移一位，偶數位左移一位，此時將兩個資料相或即可以達到奇偶位上資料交換的效果：

原數：  10000110 11011000
奇數位右移一位： 0 10000010 1000100
偶數位左移一位：0000100 01010000 0
兩數相或得到： 01001001 11100100

上面的方法用位操作可以表示為：

• 取a的奇數位並用 0 進行填充可以表示為：a & 0xAAAA
• 取a的偶數為並用 0 進行填充可以表示為：a & 0x5555
  因此，上面的第一步可以表示為：
  a = ((a & 0xAAAA) >> 1) | ((a & 0x5555) << 1)
  同理，可以得到其第二、三和四步為：
  a = ((a & 0xCCCC) >> 2) | ((a & 0x3333) << 2)
a = ((a & 0xF0F0) >> 4) | ((a & 0x0F0F) << 4)
a = ((a & 0xFF00) >> 8) | ((a & 0x00FF) << 8)
  因此整個操作為：

unsigned short a = 34520;

a = ((a & 0xAAAA) >> 1) | ((a & 0x5555) << 1);
a = ((a & 0xCCCC) >> 2) | ((a & 0x3333) << 2);
a = ((a & 0xF0F0) >> 4) | ((a & 0x0F0F) << 4);
a = ((a & 0xFF00) >> 8) | ((a & 0x00FF) << 8);

8. 位操作統計二進位制中 1 的個數

統計二進位制1的個數可以分別獲取每個二進位制位數，然後再統計其1的個數，此方法效率比較低。這裡介紹另外一種高效的方法，同樣以 34520 為例，我們計算其 a &= (a-1)的結果：

• 第一次：計算前：1000 0110 1101 1000 計算後：1000 0110 1101 0000
• 第二次：計算前：1000 0110 1101 0000 計算後：1000 0110 1100 0000
• 第二次：計算前：1000 0110 1100 0000 計算後：1000 0110 1000 0000

我們發現，沒計算一次二進位制中就少了一個 1，則我們可以通過下面方法去統計：

count = 0  
while(a){  
  a = a & (a - 1);  
  count++;  
}  

9. 我們可以利用異或來進行加解密，異或的特性如下

A ^ B = C => C ^ A = B => C ^ B = A 

上文我們可以把A認為是需要加密的資料，B認為是金鑰 C是加密後的資料 比如:

#include <stdio.h>
main()
{
   char a[]="MyPassword";        /*要加密的密碼*/
   char b[]="cryptographic";     /*金鑰*/
   int i;
   
   /*加密程式碼*/
   for(i=0;a[i]!='\0';i++)
   {
	 a[i]=a[i]^b[i];
   }
   printf("You Password encrypted: %s\n",a);
   
   /*解密程式碼*/
   for(i=0;a[i]!='\0';i++)
   {
     a[i]=a[i]^b[i];
   }
   printf("You Password: %s\n",a);
}

參考文章

• 位運算有什麼奇技淫巧？
• 關於位運算看這個就夠了