上一節程式設計師的數學筆記1--進位制轉換是介紹了進位制，特別是十進位制和二進位制之間的轉換，移位操作和邏輯操作。
今天介紹的是餘數，看完本節筆記，你會發現生活中有很多東西都有餘數的影子。
餘數
餘數的特性
整數是沒有邊界的，它可能是正無窮，也可能是負無窮。
**但餘數卻總是在一個固定的範圍內。**假如除數是 m，那麼餘數的範圍就是 0~(m-1)。
生活中，餘數可以用來算星期，web 程式設計中可以用於分頁。
同餘定理
兩個整數 a 和 b，如果它們除以正整數 m 得到的餘數相等，我們就可以說 a 和 b 對於模 m 同餘。
同餘定理可以用來做分類，或者說是均分操作。因為可以將對同個正整數 m 相除得到的餘數相等的分在同一個類中。
雜湊函式
每個程式語言都有對應的雜湊函式，雜湊有時候也被翻譯為雜湊，**它是指將任意長度的輸入，通過雜湊演算法壓縮為某一固定長度的輸出。**這其實就是一個求餘的過程。
例如，假設對於 100 萬條資料記錄，要做到高速存取，最理想情況是開闢一個連續的空間存放這些資料，減少定址的時間，但很多時候條件並不允許。這個時候我們可以考察一下，系統是否可以提供若干個較小的連續空間，每個空間可以存放一定數量的記錄。比如找到100個較小的連續空間，每個空間可以容納 1 萬條資料連續存放。那麼我們可以採用餘數和同餘定理來設計一個雜湊函式，並實現雜湊表的結構。
這個函式可以如下所示：
f(x) = x mod size
複製程式碼x表示等待被轉換的數值，size表示有限儲存空間的數量，mod表示取餘操作。通過餘數，你就能將任何數值，轉換為有限範圍內的一個數值，然後據這個新的數值，來確定將資料存放在何處。
而在我們這個例子中，size=100，那麼對於記錄標號分別是 1 和 101 的兩條資料，根據上述公式進行取餘操作，得到的餘數都是 1，那麼它們就會分到同一個儲存的空間中。
這種的做法好處不僅是設定一個存放分類的規則，而且取餘操作簡單快速，不會增加定址時間。
更進一步，如果想增加資料雜湊的隨機程度，可以加入一個較大的隨機數 MAX，如下所示：
f(x) = (x + MAX) mod size
複製程式碼比如對標號為 1 的記錄，隨機數是590199，那麼計算結果是得到餘數為 0，而標號為 101，隨機數變成 627901，對應餘數是 2。這樣在新的計算公式下，這兩個記錄就分配到不同的儲存空間了。
這種做法更適合需要將資料重新洗牌的應用場景，比如加密演算法、MapReduce 中的資料分發、記錄的高速查詢和定位等。
舉個例子，對於一個加密演算法，如果我們要加密一組三位數，那我們設定一個這樣的加密規則：
- 先對每個三位數的個、十和百位數，都加上一個較大的隨機數。
- 然後將每位上的數字都除以 7，用所得到的餘數代替原來的三位數；
- 最後將第一位和第三位交換。
這就是一個基本的加密變換過程。
例如對數字 625 加密，根據剛剛的規則，隨機數採用 590127，百、十和個位數都分別加上這個隨機數，分別得到的是 590133、590129、590132，接著分別除以 7，得到的餘數分別是 5,1,4，然後交換得到最終的結果是 415。而如果需要解密，因為加密的人會知道加密規則、隨機數和求餘所用的除數 7 以及求餘操作中的商，就可以解密還原回原來的數字。
更多的採用餘數和求餘操作的應用例子：
- 尾號限行
- 最大公約數、模冪運算(DES、AES、RSA)，凱撒密碼，孫子定理
- 進位制的轉換，應該說十進位制轉換成其他進位制都是迴圈求餘操作
關於餘數的一些應用例子，你是否還想到其他的應用呢？
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