《程式設計師的數學》思考題（一）

cipher發表於2018-07-25

原文地址：www.ciphermagic.cn/programmer-…

《程式設計師的數學》這本書，除了前兩章介紹數學的基本概念外，其它章節主要通過思考題的方式，在解答過程中給我們講解數學知識和思維方式。所以看完整本書後，通過對思考題的不斷訓練，可以使我們串起書中的知識點，鞏固知識。為了便於日後的複習，這裡整理了書中絕大多數的思考題，內容舒適，請放心食用。

ps：答案只有結果，不包含解答過程。

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P64：今天是星期日，那麼100天以後是星期幾？

**答：**星期二。

P66：今天是星期日，那麼10^100天以後是星期幾？

**答：**星期四。

P70：1234567^987654321的個位數是什麼？

答： 7。

P71：棋子魔術

魔術師和他的徒弟在臺上表演，下面有3位觀眾。魔術師蒙著眼睛。（1）桌上隨機排列著7個黑白棋的棋子（圖3-4）。魔術師蒙著眼睛，看不到棋子。

（2）魔術師的徒弟看完這7枚棋子之後，又往右面添了一枚棋子，與其他棋子並排，這時則有8枚棋子（圖3-5）。魔術師依然蒙著眼睛。

（3）這時觀眾可將其中的1枚棋子翻轉，或不翻轉任何棋子（圖3-6）。

（4）魔術師摘下眼罩，觀察8枚棋子，然後馬上就能說出“觀眾翻轉了棋子”或“沒有翻轉棋子”，識破觀眾的行為。

魔術師是如何識破觀眾的行為的呢？

答：徒弟在觀眾擺放的7枚棋子中，數出黑棋的個數。如果黑棋數是奇數，就添黑棋。如果黑棋數是偶數，就添白棋。不管哪種情況，在最終的8個棋子中，黑棋必為偶數個。觀眾的行為可以是以下（1）~（3）三種情況之一。（1）觀眾翻轉白旗。那麼，黑棋就增加了1枚，即黑棋變為奇數個。（2）觀眾翻轉黑棋。那麼，黑棋就減少了1枚，黑棋也變為奇數個。（3）觀眾不翻轉棋子。黑棋仍然是偶數個。魔術師摘下眼罩，馬上數出黑棋的個數。如果黑棋為奇數個，就說“觀眾翻轉了棋子”。如果為偶數個，就說“沒有翻轉棋子”。這裡，徒弟擺放棋子使“黑棋個數為偶數”。若使“黑棋個數為奇數”也可以，只要魔術師和徒弟事先商量好就行。

P74：尋找戀人

在一個小王國中，有8個村子（A~H）。如圖3-8所示，各個村子之間有道路相連（黑點表示村子，線表示道路）。而你要尋找流浪在這個王國的你唯一的戀人。你的戀人住在8個村子中的某一個裡。她每過1個月便順著道路去另一個村子，每個月都一定會換村子，然而選擇哪個村子是隨機的，預測不了。例如，如果戀人這個月住在G村，那麼下個月就住在“C、F、H中的某個村子”。目前你手頭上掌握的確鑿資訊只有：1年前（12個月前），戀人住在G村。請求出這個戀人住在A村的概率。

**答：**概率為0。

P77：鋪設草蓆

如圖3-11所示，有這樣一個房間。使用圖中右下角所示的草蓆能夠正好鋪滿房間嗎？前提是不能使用半張草蓆。

**答：**不能。

P79：哥尼斯堡七橋問題

在很久以前，有一個叫哥尼斯堡的小城。小城被河流分割成了4塊陸地。人們為了連線這些陸地，建設了7座橋（圖3-13）。

現在你要找出走遍7座橋的方法。但是，必須遵守以下條件：

走過的橋不能再走。
可以多次經過同一塊陸地。
可以以任一塊陸地為起點。
不需要回到起點。

最後，如果能夠走遍7座橋的話，請說明一下方法。如果不能的話，也請說明一下。

答：

不能走遍哥尼斯堡七橋。

P88：存錢罐的錢

在你面前有一個空存錢罐。

第 1 天，往存錢罐裡投入 1 元。存錢罐中總金額為 1 元。
第 2 天，往存錢罐裡投入 2 元。存錢罐中總金額為 1 + 2 = 3 元。
第 3 天，往存錢罐裡投入 3 元。存錢罐中總金額為 1 + 2 + 3 = 6 元。
第 4 天，往存錢罐裡投入 4 元。存錢罐中總金額為 1 + 2 + 3 + 4 = 10 元。

那麼，每天都這樣往存錢罐裡投入硬幣的話，第 100 天時的總金額為多少呢？

答： 5050元。

P99：黑白棋子的顏色

黑白棋一面是白色，一面是黑色。現在，我們往棋盤上隨便仍幾枚棋子。有時會碰巧都是白色或都是黑色。但有時既有白棋，也有黑棋。

使用數學歸納法可以“證明”投擲的黑白棋的顏色一定相同。然而現實中這卻是不可能的。那麼，請找出下述“證明”中的錯誤之處。假設n為1以上的整數，用數學歸納法證明以下斷言T(n)對於1以上的所有整數n都成立。

斷言T(n)：投擲n枚黑白棋，所有棋子的顏色一定相同。

步驟1：基地的證明 證明T(1)成立。斷言T(1)即“投擲1枚黑白棋子時，所有棋子的顏色一定相同”。棋子只有1個，顏色當然只有1種，因此T(1)成立。這樣，步驟1就得到了證明。

步驟2：歸納的證明 證明當k為1以上的任意整數時，“若T(k)成立，則T(k+1)也成立”。首先假設“投擲k枚黑白棋子時，所有棋子的顏色一定相同”成立。現假設投擲k枚棋子後，再投擲一枚黑白棋。那麼投擲的棋子總數為k+1枚。這裡，將投擲的棋子以每k枚為單位分為兩組，分別將這兩組稱為A和B（圖4-5）。

因為“投擲k枚黑白棋子時，所有棋子的顏色一定相同”的假設成立，所以A組的棋子（k枚）和B組的棋子（k枚），分別都是相同色。而通過圖4-5可見，兩組共有的棋子為k-1枚。因為各組的棋子顏色相同，又有兩組共有的棋子，所有k+1枚棋子顏色相同。這就是斷言T(k+1)。這樣，步驟2就得到了證明。通過數學歸納法，證明了斷言T(n)對於1以上的所有整數n都成立。這個證明有什麼不對的地方呢？

答：步驟1沒有問題。若棋子只有1枚，那麼就只有1種顏色。問題在步驟2的圖（圖4-5）中。實際上，該圖在k=1時不成立。k=1時，兩組棋子分別都只有1枚。雙方共有的棋子為k-1枚，而k-1=0，所有不存在同屬於兩個組的棋子（圖4-6）。

因此在數學歸納法的兩個步驟中，步驟2是無法得到證明的。

P111：植樹問題

在10米長的路上，從路的一端起每隔1米種一棵樹，那麼需要種多少顆樹？

答： 11棵。

P112：最後的編號

記憶體中排列著程式要處理的100個資料。從第1個開始順次編號為0號、1號、2號、3號......那麼，最後1個資料的編號是多少？

答： 99號。

P115：加法法則

在一副撲克牌中，有10張紅桃數字牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10），3張紅桃花牌（J、Q、K）。那麼紅桃共有多少張？

答： 13張。

P115：控制亮燈的撲克牌

在一副撲克牌中，有13個級別（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。這裡，我們分別將A、J、Q、K設為整數1、11、12、13。

在你面前有一個裝置，只要往裡面放入1張牌，它就會根據牌的級別控制燈泡的亮滅。我們假設放入的撲克牌的級別為n（1~13的整數），

若n是2的倍數，則亮燈。
若n是3的倍數，也亮燈。
若n既不是2的倍數，也不是3的倍數，則滅燈。

往這個裝置中依次放入13張紅桃，其中亮燈的有多少張牌呢？

答： 8張。

P117：乘法法則

在一副撲克牌中，有紅桃、黑桃、方片、梅花四種花色。每個花色都有A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K這13個等級。那麼，一副撲克牌共有多少張？（這裡除去王牌）

答： 52張。

P119：3個骰子

將3個寫有數字1到6的骰子並列放置，形成一個3位數，共能形成多少個數字？

答： 216個。

P120：32個燈泡

1個燈泡有亮和滅2種狀態。若將32個這樣的燈泡排成一排，則共有多少種亮滅模式。

答： 4294967296種。

P121：3張牌的置換

如果將A、B、C這3張牌按照ABC、ACB、BAC......等順序排列，那麼共有多少種排法？

答： 6種。

P123：撲克牌的置換

將一副撲克牌裡的52張（不包括王牌）擺成一列，共有多少種擺法？

答： 52！（52的階乘）

P125：從5張撲克牌中取出3張進行排列

你現在手上持有A、B、C、D、E共5張牌。要從這5張牌中取出3張牌進行排列。請問有多少種排法？

答： 60種。

P134：藥品調劑

現假設要將顆粒狀的藥品調劑成一種新藥。藥品有A、B、C三種。新藥調劑規則如下。

從A、B、C這3種藥品中，共取100粒進行調劑。
調劑時，A、B、C這3種藥品每種至少有1粒。
不考慮藥品調劑的順序。
同種藥品每粒都相同。

這種情況下，新藥調劑的組合共有多少種？

答： 4851種

P136：至少有一端是王牌

現在有5張撲克牌，其中王牌2張，J、Q、K各1張。將5張牌排成一排，左端或右端至少有一端是王牌的排法有多少種？（不區分大小王牌）

答： 42種。