同構——程式設計中的數學

我講一個從馬爺爺那裡聽來的故事。有一年春節的時候，北京地壇公園的廟會裡人山人海，小朋友們拿著壓歲錢在各種攤位上買自己喜歡的玩具。有一個攤位上圍了一群人。地上一字排開擺了九個小玩具，每個玩具上依次貼著一元、二元、三元……直到九元的標籤。攤主一邊向大家吆喝，一邊講解遊戲規則：“大家快來玩套圈遊戲！一次一元錢，你扔一個，我扔一個，一個玩具只能套一個圈。你要是有三個套中的玩具加到一起值十五元，就可以把玩具都贏走。”

|中國結 | 風車 | 不倒翁 | 孫悟空面具 | 小豬存錢罐 | 九連環 | 汽車 | 兔爺 | 走馬燈 |
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有個小男孩掏出一元錢，拿了一個紅色的圈，使勁一扔。真準！正好套在了七塊錢的玩具汽車上，攤主拿出一個藍色的圈，一下子套中了八塊錢的兔爺。

|中國結 | 風車 | 不倒翁 | 孫悟空面具 | 小豬存錢罐 | 九連環 | 汽車 | 兔爺 | 走馬燈 |
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小男孩又花了一元錢，這次他套中了價值兩元的一個風車，這樣只要他下次再套中那個六元的九連環就贏了。可這次攤主不慌不忙地套住了那隻九連環。

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這下可糟了，如果接下來攤主再套中那個一元錢的中國結，小男孩就要輸了。小男孩漲紅了臉，只能搶先去套那個中國結，他試了兩次終於套中了。

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攤主接下來扔了一個圈，套住了四元錢的孫悟空面具。小男孩套住了五元錢的小豬存錢罐。

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但是攤主扔出一個圈，套住了三元的不倒翁。由於3 + 4 + 8 = 15，小男孩輸了。

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周圍的人看著很好玩，也紛紛掏錢套圈玩。馬爺爺看了一陣，覺得很奇怪，大多數情況下都是攤主贏，偶爾會平局。馬爺爺懷疑攤主一定有什麼祕密，他只是為了避免人們懷疑，有時才故意輸掉遊戲。

馬爺爺回到家，電視里正在講中國古老的《河圖洛書》，據說在文字尚未發明之前，伏羲治理天下的時候，在黃河支流，有烏龜揹負著神祕的圖案爬上岸來。如果把圖案中的圓點數目用現代的方法表示出來，就是一個數學上的三階幻方。

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| 8 | 1 | 6 |
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可別被這個名字嚇到，就是方形的九個格子裡每行、每列、兩個對角線上的三個數字加起來都相等，都等於十五。例如第一行的數字相加是4 + 9 + 2 = 15，第三列的數字相加是2 + 7 + 6 = 15，左上右下的對角線的數字相加是4 + 5 + 6 = 15。等一等——馬爺爺想，我現在知道廟會裡套圈遊戲背後的祕密了。如果要套中的三個玩具加起來等於十五元，那麼就相當於套中了幻方的一行、一列、或一個對角線。如果攤主在櫃檯裡偷偷藏一張三階幻方的圖，那麼他實際上相當於在和遊人玩俗稱“一條龍”的井字棋遊戲。

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廟會中那個小男孩和攤主的套圈遊戲相當於下面的井字棋對局。攤主在關鍵的第三步中給小男孩設定了一個陷阱，他在第一列上和一個對角線上同時可能連成直線，如果小男孩套中3，則攤主套中5依然能贏。如果瞭解過博弈遊戲，或者知道一點程式設計，你就知道井字棋遊戲沒有必勝的策略，如果遊戲雙方都足夠小心，結果一定是平局。偷偷擁有三階幻方圖的攤主這樣就站在了不敗的地位上，而其他遊客一無所知。

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第一步，男孩套中7，攤主套中8

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第二步，男孩套中2，攤主套中6

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第三步，男孩套中1，攤主套中4

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第四步，男孩套中5，攤主套中3，攤主勝

這個故事是真的麼？當然不是，馬爺爺是個虛構的人物，他在真實世界中名叫馬丁.加德納——舉世聞名的美國趣味數學大師。這個故事來自他的《啊哈！靈機一動》。故事不是發生在北京的地壇公園，而是美國的鄉村小鎮。攤主名叫卡內，而玩遊戲的小男孩實際是一位女士。這個遊戲也不是中國傳統的套圈遊戲，而是用硬幣蓋住一排數字。

這個故事和其中所講的遊戲不斷在說著一個重要的概念——同構。一行九個數字和三行三列的格子同構，相加等於15的目標與行、列、對角線同構，古老的《洛書》和數學幻方同構，馬爺爺和加德納同構，中國的春節廟會和美國鄉村遊樂同構……這其實也是本書想傳達的概念，程式設計和數學同構，和藝術同構，和音樂同構。偉大的發現背後有曲折的故事和性格迥異的數學家。

這個故事還有一層隱喻，問題的表象下隱藏著和它同構的理論實質，我們需要了解抽象的本質而不被具體的現象矇住眼睛。在人工智慧和機器學習日新月異的今天，我們能否還靠著一點點聰明和工程實踐繼續前行？我們是否要開啟那些神祕的黑盒子找到那個指引我們前進的地圖？

《同構——程式設計中的數學》中文版已可以從github上下載：https://github.com/liuxinyu95/unplugged

二零一九年五月於北京