位運算進階

EdisonBa發表於2021-01-15

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編碼

在 m 位二進位制數中，通常稱最低位為 0 位，從右到左以此類推，最高位為 \(m-1\) 位。

當無符號整數 (unsigned) 爆了的時候，它會自動 %，不會爆出負數。

C++ 的十六進位制常常以 “0x” 開頭，“0x” 後面的部分對應具體的十六進位制的數值。當使用 memset 時，memset 只能賦值出 “每 8 位都相同的數”。當需要把一個陣列中的數值初始化為正無窮時，為了避免加法算術上溢位或者繁瑣的判斷，我們經常用 memset(a, 0x3f, sizeof(a)) 給陣列賦 0x3F 3F 3F 3F 的值來代替。

對於數字 0x3F 3F 3F 3F，它是滿足以下兩個條件的最大整數：

  1. 整數的兩倍不超過 0x7F 7F 7F 7F，即 int 能表示的最大正整數。
  2. 整數的每 8 位（每個位元組） 都是相同的。

光速大整數乘法

  • 時間複雜度為 \(O(1)\)

    ull mul(ull a,ull b,ull p)
{
    a%=p;
    b%=p;
    ull c=(long double) a*b/p;
    ull x=a*b;
    ull y=c*p;
    ll ans=(ll)(x%p)-(ll)(y%p);
    if(ans<0) ans+=p;
    return ans;
}

  • 時間複雜度為 \(O(\log_2b)\)

    ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=0;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) ans=(ans+1)%p;
        a=a*2%p;
    }
    return ans;
}

二進位制狀態壓縮

位運算操作

二進位制狀態壓縮，是指將一個長度為 m 的 bool 陣列用一個 m 位二進位制整數表示並儲存的方法。利用下列位運算操作可以實現原 bool 陣列中對應下標元素的存取。

操作 運算
取出 n 的第 k 位 ( n >> k ) & 1
取出 n 的後 k 位（ 0 ~ k-1 位） n & ( ( 1 << k ) - 1 )
將第 k 位取反，賦值到 n n = n xor ( 1 << k )
將第 k 位變為 1，賦值到 n n |= ( 1 << k )
將第 k 位變為 0，賦值到 n n &= ( ~ ( 1 << k ) )

這種方法運算簡便，比暴力從十進位制算出二進位制的每一位節省了大量的時間和空間。

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運算子優先順序

從高到低排列：

加減 移位 比較大小 按位與 按位異或 按位或
+ , - << , >> > , < , == , != & xor ( C++ ^ ) |

如果不確定優先順序，則可以加一些括號，以保證運算順序的正確性。

\(lowbit\) 計算

lowbit(n) 定義為非負整數 n 在二進位制表示下 “最低位的 1 及其後邊所有的 0 構成的數值”。

推導

設 \(n>0\) ，\(n\) 的第 \(k\) 位是 \(1\)，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 \(0\)。

為了實現 lowbit 運算，先把 \(n\) 取反，此時第 \(k\) 位變為 0， 第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 1。再令 \(n=n+1\) ，此時因為要進位，第 k 位變為 1 ，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 0。

在上面的取反加 1 操作後，\(n\) 的第 \(k+1\) 到最高位恰好與原來相反，所以 \(n ~\& ~(\sim n+1)\) 僅有第 \(k\) 位為 1，其餘位都是 0。而在補碼錶示下，\(\sim n = -1-n\)，因此：

\[lowbit(n)=n ~\& ~(\sim n+1) = n ~\& ~(-n) \]

Code

配合 Hash 代替 \(\log\) 運算，可以使複雜度降低。

const maxn = 1 << 20;
int H[maxn];
for(int i=0; i<=20; ++i)
    H[1 << i] = i; //預處理

while(cin >> n) //對多組資料進行求解
{
    while(n > 0)
    {
        cout << H[n & -n] << ' ';
        n -= n & -n;
    }
    puts("");
}

內建函式

下面這些仙術可以高效計算 lowbit 以及二進位制中 1 的個數。但是，部分競賽禁止 使用下劃線開頭的庫函式，所以這些內建函式在競賽裡不要使用。

  • 返回 \(x\) 的二進位制表示下最低位的 1 後面有多少個 0：
    int __builtin_ctz (unsigned int x)
    long long __builtin_ctzll (unsigned long long x)

  • 返回 \(x\) 的二進位制表示下有多少位為 1：
    int __builtin_popcount (unsigned int x)
    int __builtin_popcountll (unsigned long long x)

參考文獻

李煜東 《演算法競賽 進階指南》

EdisonBa

2021.1.15

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