演算法競賽進階指南 - 位運算3題詳解

演算法進階指南看了開頭一部分，個人感覺講解的比較透徹，於是打算寫一些個人的讀書筆記，主要是做題後做一個總結，不求快，但求能一點點講清楚每個知識點。這一節來看看第一章的位運算部分。

演算法進階指南的的題目都在AcWing上面，這裡就按照AcWing上的題號來寫題目編號。

題目89、求 a 的 b 次方對 p 取模的值。

題意：

如題，就是求$a^b\%p$。

這道題也是快速冪模板，作為書中的第一道例題，有必要重新看一下快速冪的原理。

比如求$3^{13}\%100$，這裡a是3，b是13，p是100。

如果我們直接用乘法，那麼就是

$$3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3$$

對於b非常大（比如10的9次方）的情況，效率會很低。快速冪能很好的解決這個問題。

快速冪可以理解為二進位制冪，將b轉換為二進位制格式，比如13的二進位制就是8+4+1 => 1000 ^ 0100 ^ 0001 => 1101

也就是：

$$3^{13}=3^{1101}=3^{(2^3+2^2+2^0)}=3^{2^3}\ast 3^{2^2}\ast 3^{2^0}$$

如果從b的二進位制末位開始遍歷i（i從0開始）到最左邊，凡是遇到1，那麼就會將$3^{2^i}$作為一項乘到結果中。

從乘式右邊開始，每一項都是前一項的平方。

C++程式碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    long long a, b, p;
    scanf("%ld%ld%ld", &a, &b, &p);

    long long res = 1;

    while (b)
    {
        // b二進位制中的1，表示這次可以將當前a的迭代值作為一項乘到res中
        if (b & 1)
            res = res * a % p;
        // b每次都會右移一位，每次我們都是處理最末位的二進位制值
        b >>= 1; //b右移了一位後,a也需要更新

        // 迭代a，a在這裡其實是每次的迭代值,等於a^{2^i}，其中i從0開始
        a = a * a % p;
    }

    printf("%ld\n", res % p);
    return 0;
}

題目90、64位整數乘法

題意：

求 a 乘 b 對 p 取模的值。

資料範圍：

$$1\le a,b,p\le 10^{18}$$

這裡直接相乘顯然會超過64位，還是快速冪，上面我們對快速冪有了大概的理解，再來看下這題的變化。

舉個例子，對於$3\ast 13$用快速冪怎麼做呢？

我們還是對b進行二進位制處理，那麼：

$$3\cdot 13=3\cdot 1101=3\cdot (2^3+2^2+2^0)$$

也就是

$$3\cdot 2^3+3\cdot 2^2+3\cdot 2^0$$

從最右邊開始，每一項都是前一項的2倍，參考題目89的程式碼，

程式碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

int main()
{
    ll a, b, p, res;
    cin >> a >> b >> p;
    res = 0;

    while (b)
    {
        // 只有位為1的部分加入到res中
        if (b & 1)
            res = (res + a) % p;
        
        // b右移一位
        b >>= 1;

        // 每一項都是前一項的2倍
        a = 2 * a % p;
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

題目3、最短Hamilton路徑

題意：

給定一張 n 個點的帶權無向圖，點從 0~n-1 標號，求起點 0 到終點 n-1 的最短Hamilton路徑。 Hamilton路徑的定義是從 0 到 n-1 不重不漏地經過每個點恰好一次。

解題思路：

這道題暴力解法就是搜尋，看最終哪條路徑的總值最小，但是複雜度非常高，肯定會超時。

這道題不再是像上面2題可以用快速冪解決，而是需要動態規劃來解決，採用位的方式儲存狀態。

動態規劃思路：首先需要思考狀態方程，在任意時刻，如何表示哪些點走過，哪些點沒走過呢？顯然可以用一個n位的二進位制數。若第i位位1，就表示第i個點走過了。

在任意時刻，還需要知道當前在那個點，所以可以用$f[i,j]$來表示狀態，$f[i][j]$中的i表示點經過的狀態，j表示到了那個點。

目標值是$f[(1\ll n)-1][n-1]$，比如n為3，那麼(1<<n)-1恰好為7（二進位制為111），表示所有點都經過了。

那麼狀態方程呢？

在任意時刻，有公式$f[stat{e}_j][j]=f[stat{e}_k][k]+weight[k][j]$

這裡$stat{e}_k=stat{e}_j$除掉$j$之後的狀態

注意這裡$k$可以是0到$n-1$，$f[stat{e}_j][j]$會遍歷k取最小值。

來看程式碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

const int N = 20, M = 1<<20;

// 這裡f佔用空間非常大，不能開在main函式中，全域性變數是在堆中開空間
int f[M][N], weight[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    
    for(int i=0; i<n; i++){
        for(int j=0; j<n; j++){
            cin>>weight[i][j];
        }
    }
    
    // 初始化最大值
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    // i為00...01表示在經過位置0
    // j為0表示目前處於位置0
    f[1][0] = 0;
    
    for(int i=0; i<1<<n; i++){
        for(int j=0; j<n; j++){
            if(i>>j & 1){
                for(int k=0; k<n; k++){
                    // i-(1<<j)作用是去掉j位的1
                    // i-(1<<j) >> k & 1在位置k為1（經過k）
                    if(i-(1<<j) >> k & 1){
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i-(1<<j)][k]+weight[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
    return 0;
}

這裡還要注意的是位的優先順序，位操作的優先順序都比較低，如果不確定可以都用括號，防止優先順序錯誤。這道題需要記住位移操作的優先順序低於加減的優先順序，需要括起來才行。

本題中$i-(1\ll j)$還可以使用i ^ (1<<j)來寫，異或操作是啥，異或就是不同的就是1，所以稱為異，這裡i中j位為1，異或肯定為0，所以效果是一樣的，不過前者可能更好理解一點，直接減去也是0，後者可能效能更好。（前者是yxc的視訊中的寫法，後者是李煜東的演算法書上的寫法）

然後就是f的空間佔用比較大，放在全域性裡面用堆記憶體進行分配，切記~

總結

以上3題就是演算法進階指南里面的入門題目啦，新手學習的時候多思考，因為快速冪和狀態壓縮的理解都需要一點時間。快速冪能夠應用在指數運算和乘法運算中，其實就是對二進位制進行分解處理，每一項都是一次迭代的結果，從最小的項開始運算，每次運算都依賴上次的運算，最終只需要log(n)複雜度完成運算。

狀態壓縮後面在動態規劃的習題中再著重講解，本題也是一個很典型的題目，關鍵是確定DP方程的影響因素，題目3中主要是當前點的狀態和當前位置2個因素可以涵蓋所有情況，狀態轉移需要進行位運算，主要是對某位進行賦值和取值操作，多練習就能夠熟悉使用了。

如果還有不懂的，可以留言給我再講解，也可以參考《演算法競賽進階指南》，還可以參考AcWing的yxc的視訊教程，相對來說視訊教程更容易理解。

原創不易，如果看了這篇能夠提高你對位運算的理解，請點個贊哦。

微信公眾號：ACM演算法日常

專注於基礎演算法的研究工作，深入解析ACM演算法題，五分鐘閱讀，輕鬆理解每一行原始碼。內容涉及演算法、C/C++、軟體設計等。