最近碰到很多通過巧妙著運用位運算來巧妙解決複雜問題的演算法，今天分享的這道題，或許能夠開拓你的一些演算法思維。
該問題是這樣的：
有一組存放 ID 的資料。並且 ID 取值為 0 - (N-1) 之間，其中只有一個 ID 出現的次數為 1，其他的 ID 出現的次數都等於 2，問如何找到這個次數為 1 的 ID ?
解法一：巧用陣列下標
不知道有多少人還記得我之前分享的巧用陣列下標的技巧：一些常用的演算法技巧總結。
我的第一想法便是採用下標法來解決，把 ID 作為陣列 arr 的下標，在遍歷 ID 的過程中，用陣列記下每個 ID 出現的次數，即每次遍歷到 ID = n，則 arr[n]++。
之後我們在遍歷陣列 arr，找到 arr[n] = 1 的ID，該下標 n 便是我們要尋找的目的 ID。
這種方法的時間複雜度為 O(N)，空間複雜度為 O(N)。
解法二：巧用雜湊表
顯然時間複雜度是無法再降低的了，因為我們必須要遍歷所有的 ID，所以時間複雜度最少都得為 O(N)了，所以我們要想辦法降低空間複雜度。
大家想一個問題，假如我們檢測到某個 ID 已經出現了 2 次了，那麼這個 ID 的資料我們還需要儲存記錄嗎？大部分的 ID 都出現了 2 次，這一大部分的資料真的需要儲存嗎？
答是不用的，因為出現 2 次的 ID 不是我們所要找的。所以我們可以優化解法一，我們可以採用雜湊表來記錄 ID 出現的次數：利用雜湊表記下每個 ID 出現的次數，每次遇見一個 ID，就把這個 ID 放進 雜湊表，如果這個 ID 出現了次數已經為 2 了，我們就把這個 ID 從雜湊表中移除，最後雜湊表只會剩下一個我們要尋找的 ID。
這個方法最好的情況下空間複雜度可以降低到 O(1)，最壞的情況仍然了 O(N)。
解法三：巧用位運算
那究竟有沒辦法讓空間複雜度在最壞的情況下也是 O(1) 呢？
答是有的，按就是採用異或運算。異或運算有個特點：
異或運算特點：相同的兩個數異或之後，結果為 0，任何數與0異或運算，其結果不變並且，異或運算支援結合律。
所以，我們可以把所有的 ID 進行異或運算，由於那些出現兩次的 ID 通過異或運算之後，結果都為 0，而出現一次的 ID 與 0 異或之後不變，又因為異或支援結合律，所以，把所有 ID 進行異或之後，最後的結果便是我們要找的 ID。
這個方法的空間複雜度為 O(1)，巧妙利用了位運算，而且運算的效率是非常高效的。
問題擴充
假如有 2 個 ID 出現的次數為 1，其他 ID 出現的次數都為 2 呢？有該如何解決呢？是否還是可以用位運算呢？
為了方便這裡我們先假設 異或 的符號為 @，
答是必須的，假如這兩個出現一次的 ID 分別為 A, B，則所有 ID 異或後的結果為 A@B，這時我們遇到的問題是無法確定 A，B的值。
由於 A 和 B 是不一樣的值，所以 A@B 的結果不為 0，也就是說，這個異或值的二進位制中某一位為1。顯然，A 和 B 中有且僅有一個數的相同位上也為 1。
這個時候，我們可以把所有 ID 分為兩類，一類在這個位上為 1，另一類為 0，那麼對於這兩類，一類會含有 A，另一類會含有 B。於是，我們可以分別計算這兩類 ID 的異或值，幾可得到 A 和 B 的值。
總結
大家做刷題的時候，不妨多加上一個想法：是否可以用的上位運算這種思路。有收穫？不妨來個好看讓更多人人看到這篇文章！
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