三分鐘熟悉進位制轉換與位運算

陸十三發表於2021-02-24

進位制和位運算簡介

進位制也叫進位制，是一種記數方法，也稱進位計數法，利用這種記數法可以使用有限的數字符號來表示所有的數值。

一種進位制中可以使用的數字符號的數目稱為這種進位制的基數，若一個進位制的基數為 N，則可稱之為 N 進位制，即表示數值時滿 N 進一。

在生活中最常用的是十進位制，使用 10 個阿拉伯數字 0 到 9 進行記數。而在電子計算機領域，內部使用的是二進位制，電路的狀態通過 0 和 1 表示來實現記數。八進位制和十六進位制計算機領域也較為常用，尤其十六進位制。

位運算則是在程式中對二進位制數的一元和二元運算操作。

在 JDK 以及框架原始碼中都存在進位制轉換和位運算的身影，作為開發人員應該熟悉基本的進位制轉換和位運算（最起碼得能看懂吧）。

進位制轉換

例如，十進數的 13，二進位制的 1101，他們表示相同的數值，只是不同的表現形式而已，那麼不同進位制之間如何相互轉換呢？

十進位制轉換 N 進位制，可以通過“短除法”求餘數然後倒序得到轉換結果，一個十進位制數轉換為 N 進位制就除以 N，例如：

  1. 將十進位制數 123 轉換為二進位制。

十進位制 123 轉二進位制

結果：1111011

  1. 將十進位制數 123 轉換為十六進位制。

十進位制 123 轉十六進位制

結果：7b

N 進位制轉為十進位制可以通過“按位權展開法”來轉換，即在 N 進位制中，每個位置的數字乘以進位制的基數為底的所處位置序號(從 0 開始)為指數的整數次冪，然後相加。例如：

  1. 將二進位制數 1111011 轉換為十進位制。

1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0
= 1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1
= 123

  1. 將十六進位制數 7b 轉換為十進位制

7 * 16^1 + b * 16^0
= 7 * 16 + 11 * 1
= 123

二進位制與十六進位制互轉

四位二進位制數表示的範圍是 0 - 15，用四位二進位制數可以表示十六進位制的一位數，反之亦然。即二進位制轉十六進位制可以通過四(位)合一(位)，十六進位制轉二進位制可以通過一(位)拆四(位)來轉換。例如：
二進位制 1111011 轉換為十六進位制，0111(7) - 1011(b) 即轉換結果為7b。
十六進位制 7b 轉為二進位制，7(0111) - b(十進位制 11，二進位制 1011) 即轉換結果為 1111011。

二進位制與八進位制互轉

三位二進位制數表示的範圍是 0 - 7，用三位二進位制數可以表示八進位制的一位數，反之亦然。即二進位制轉八進位制可以通過三(位)合一(位)，八進位制轉二進位制可以通過一(位)拆三(位)來轉換。例如：
二進位制 1111011 轉換為八進位制，001(1) - 111(7) - 011(3) 即轉換結果為173。
八進位制 173 轉為二進位制，1(001) - 7(111) - 3(011) 即轉換結果為 1111011。

負數的二進位制

前面介紹的都是正數的二進位制轉換，那麼負數的二進位制如何表示和轉換的？

首先，我們先了解一下原碼、反碼、補碼，一個數在計算機中的二進位制表示形式叫做這個數的機器數，機器數的最高位稱為符號位，正數符號位為 0，負數符號位為 1，而符號位之外部分稱為機器數的真值(表示真正的數值部分)，原碼、反碼、補碼是機器數的表示方法。

原碼： 原碼的表示方法，最高位是符號位，其餘部分表示數值(真值)。正數符號位為 0，負數符號位為 1，0 的符號位可以為 0 或 1(+0 和 -0)。

例如，我們用 8 位二進位制表示一個數，則 +11 的原碼為 00001011，-11 的原碼就是 10001011。

在數學中 1 + (-1) = 0，如果使用原碼直接參與數學運算，00000001 + 10000001 = 10000010(換算成十進位制為 -2)，顯然不對。所以原碼的符號位不能直接參與運算，必須和其他位分開，這就增加了硬體的開銷和複雜性。為了便於 ALU (算術邏輯單元，實現多組算術運算和邏輯運算的組合邏輯電路)的設計，又發展出反碼、補碼。

反碼： 反碼的表示方法，正數的反碼等於其原碼，而負數的反碼通過保留其符號位，將其原碼的數值位(真值)取反。

例如，同樣用 8 位二進位制表示一個數，11 = 00001011(原碼) = 00001011(反碼)，
-11 = 10001011(原碼) = 11110100(反碼)。

雖然，反碼可以消除原碼存在的計算問題，由於反碼存在多餘的負零等問題，此方式並未被廣泛應用。

補碼： 補碼的表示方式，正數和 0 的補碼等於其原碼，且補碼的 0 只有一個表示方式，不分 +0 和 -0。負數是將他的反碼加 1 得到補碼。

例如，11 = 00001011(原碼) = 00001011(反碼) = 00001011(補碼)，-11 = 10001011(原碼) = 11110100(反碼) = 11110101(補碼)。

一種簡單方式算出補碼

負數的補碼一般情況下通過負數的原碼得到反碼，在將反碼加 1 獲得補碼。這裡有一種簡單的計算補碼方法。

  1. 將對應的正數原碼從最低位元位向高位元位查詢。
  2. 若該位元位為 0，補碼對應位元位填 0，繼續向高位元位查詢。
  3. 若找到第一個為 1 的位元位，將補碼對應位元位填 1。
  4. 然後，將其餘未轉換的位元位全部取反。

例如：計算 -20 的補碼。

計算 -20 的補碼

計算機為什麼使用補碼

為了簡化 ALU 設計，減法轉換為加法來計算，例如，1 - 1 可以轉換為 1 + (-1) = 00000001 + 11111111 = 100000000 (由於加數和被加數都是 8 位，因此運算結果也限制在 8 位，前面溢位的位元位 1 忽略，所以結果為 00000000 = 0)，即一個數加上另一個數的補碼來表示。

這樣只要有加法電路即可完成各種有號數加減法，對於乘除法，乘法在計算機中其實就是不斷的做加法，除法就是相減，本質也是加法，所以四則運算的基礎都是由加法而來，電路設計得到了很大簡化。補碼解決了原碼和反碼出現的問題，因此計算機中數值使用補碼方式來計算和儲存的。

Java 內建的進位制轉換 API

JDK 的 Integer 和 Long 類提供了常用的進位制相互轉換方法。

進位制轉換 java.lang.Integer java.lang.Long
10進位制 → 2進位制 toBinaryString(int i) toBinaryString(long i)
10進位制 → 8進位制 toOctalString(int i) toOctalString(long i)
10進位制 → 16進位制 toHexString(int i) toHexString(long i)
10進位制 → n 進位制 toString(int i, int radix) toString(long i, int radix)
n 進位制 → 10進位制 valueOf(String s, int radix)
parseInt(String s, int radix)		 valueOf(String s, int radix)
parseLong(String s, int radix)		 
System.out.println(Integer.toBinaryString(13)); // 十轉二，結果為 1101
System.out.println(Integer.toOctalString(13));  // 十轉八，結果為 15
System.out.println(Integer.toHexString(13));    // 十轉十六，結果為 d
System.out.println(Integer.toString(13, 5));    // 十轉五，結果為 23
System.out.println(Integer.valueOf("23", 5));   // 五轉十，結果為 13

位數補齊

如 int 型別資料長度是 32 位，輸出時前面的“0”會被省略，想補齊可以使用 commons-lang3-*.jar 的 StringUtils 工具類對輸出的字串位數補齊。示例：

String fullStr = StringUtils.leftPad("1010", 32, "0"); // 對二進位制 1010 位數補齊
System.out.println(fullStr); // 輸出結果：00000000000000000000000000001010

Java 中進位制字首

Java 對二進位制、八進位制、十六進位制提供了字面量字首的表現形式，可以直接使用這幾種進位制形式計算或賦值，例如：

// 都表示十進位制的 10
int i1 = 10; 	 // 十進位制，沒有字首
int i2 = 0b1010; // 二進位制，字首   0b(Java 7 或更高版本)
int i3 = 012; 	 // 八進位制，字首   0
int i4 = 0xA; 	 // 十六進位制，字首 0x

System.out.println(i2 + 1);
System.out.println(i3 + 1);
System.out.println(i4 + 1);

位運算

位運算是在程式中對二進位制數的一元和二元運算操作，其運算子有 & ，| ，~ ，^ ，<<， >>， >>> ，接下來我們來逐個說明：

& (按位與)

按位“與”操作處理兩個長度相同的二進位制數，兩個相應的二進位都為 1，該位的結果值才為 1，否則為 0。
如圖：10 & 3 (int 型別長度 32 位，下圖補位的 0 已被省略)。

10 & 3

| (按位或)

按位“或”操作處理兩個長度相同的二進位制數，兩個相應的二進位只要有一個為 1，該位的結果值就為 1。
例如：10 | 3 (int 型別長度 32 位，下圖補位的 0 已被省略)。

10 | 3

~ (按位非)

該操作符是一元運算子，對一個二進位制數的每一位執行邏輯反操作，使相應的位 1 變為 0，0變為 1。
例如：~ 3

~ 3

^ (按位異或)

按位“異或”操作處理兩個等長的二進位制數，如果某對應位值不同則結果值為 1，否則為 0。
例如：10 ^ 3 (int 型別長度 32 位，下圖補位的 0 已被省略)。

10 ^ 3

<< (左移)

向左進行移位操作，高位丟棄，移位後空缺的低位補 0。
例如：10 << 2

10 << 2

>> (右移)

向右移位，移位後空缺高位補 0，若為負數，高補 1。
例如：10 >> 2 和 -10 >> 2

10 >> 2

-10 >> 2

>>> (無符號右移)

向右移位，無論正負，高位空缺部分補 0。
例如：10 >>> 2 和 -10 >>> 2

10 >>> 2

-10 >>> 2

應用示例

  1. m * 2^n 或 m / 2^n
System.out.println(2 << 1); // 2 * 2^1 = 4 ，相當於乘以 2^1
System.out.println(3 >> 1); // 3 / 2^1 = 1 , 相當於除以 2^1 向下取整
  1. 奇數偶數判斷
if(m & 1 == 1) {
    System.out.println("奇數");
} else {
    System.out.println("偶數");
}
  1. 隨機概率
// lr = 隨機數;
if ((lr & 0x3) == 0) {
    // 有 1/4 的概率執行該程式碼塊
}

本文連線：https://www.cnblogs.com/newobjectcc/p/14438707.html


參考：
維基百科 - https://zh.wikipedia.org

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