leetcode - 1686 - 石子游戲 VI - 貪心 - 數學分析

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題目描述

[1686] 石子游戲 VI

• https://leetcode-cn.com/problems/stone-game-vi/

Alice 和 Bob 輪流玩一個遊戲，Alice 先手。

一堆石子裡總共有 n 個石子，輪到某個玩家時，他可以 移出 一個石子並得到這個石子的價值。Alice 和 Bob 對石子價值有 不一樣的的評判標準 。雙方都知道對方的評判標準。

給你兩個長度為 n 的整數陣列 aliceValues 和 bobValues 。aliceValues[i] 和 bobValues[i] 分別表示 Alice 和 Bob 認為第 i 個石子的價值。

所有石子都被取完後，得分較高的人為勝者。如果兩個玩家得分相同，那麼為平局。兩位玩家都會採用 最優策略 進行遊戲。

請你推斷遊戲的結果，用如下的方式表示：

如果 Alice 贏，返回 1 。
如果 Bob 贏，返回 -1 。
如果遊戲平局，返回 0 。

示例 1：

輸入：aliceValues = [1,3], bobValues = [2,1]
輸出：1
解釋：
如果 Alice 拿石子 1 （下標從 0開始），那麼 Alice 可以得到 3 分。
Bob 只能選擇石子 0 ，得到 2 分。
Alice 獲勝。
示例 2：

輸入：aliceValues = [1,2], bobValues = [3,1]
輸出：0
解釋：
Alice 拿石子 0 ， Bob 拿石子 1 ，他們得分都為 1 分。
打平。
示例 3：

輸入：aliceValues = [2,4,3], bobValues = [1,6,7]
輸出：-1
解釋：
不管 Alice 怎麼操作，Bob 都可以得到比 Alice 更高的得分。
比方說，Alice 拿石子 1 ，Bob 拿石子 2 ， Alice 拿石子 0 ，Alice 會得到 6 分而 Bob 得分為 7 分。
Bob 會獲勝。

提示：

n == aliceValues.length == bobValues.length
1 <= n <= 10^5
1 <= aliceValues[i], bobValues[i] <= 100

題目剖析&資訊挖掘

此題為貪心演算法，需要用到數學分析技巧。

解題思路

方法一 貪心+數學分析

思考

• 此題一開始有2個想法，一個是求出先後手能夠取得的最大分數，然後比較。另一個是求得先後手分差的最大值看是否大於0。
• 第一個想法很快就否定了，比如[1, 2] [3, 1] 先手得分最大的2，此時手後得分為3.顯然不可靠。
• 第二個想法想過dp, 暴力搜尋，這些複雜度巨高都不行。想著應該是找找規劃，制定一下最佳策略。
• 最終，想了好幾天也沒有想明白
• 就去看了討論區裡的思路，有一個思路說每次都取雙方石頭分數總和最大的一顆。
• 但只給了結論沒有證明。然後我就用數學方法證明一下。有時候數學真神奇，絞盡腦汁想不明白的問題，用數學列個公式就明白了。而且不管你覺得結論有多不可思議，但是數學結論就是告訴你這是對的。

分析

• 先從最簡單的2顆石頭情況來考慮，假設先手的價值是[a,b], 後手為[c,d].
• 此時，有3種情況 a+c>b+d, a+c=b+d, a+c>b+d。
• 先看a+c>b+d。選手要麼a, 要麼選b, 分差分別為 a-d, b-c.
• 想知道哪種好 比較一下分差，a-d-(b-c) = a+c-(b+d)>0。所以在只有2顆的情況下，選擇總價值大的比較好。
• a+c<b+d也同理。
• a+c=b+d ->a-d-(b-c) = a+c-(b+d)=0. 說明選哪個分差都一樣。
• 即分差就是2石總分之差。
• 推廣到多個石頭的情況分差就是a0-b0+a1-b1+…an-bn(其中ai代表alice所拿石頭的總分，bi代表bob所拿石頭的總分) = a0+a1+…an - (b0+b1+…bn) 作為先手alice肯定希望a0+a1+…an越大越好。
• 所以最終策略就是每次選石頭總分最大的。

思路

• 先對所有石頭按總分從大到小進行排序
• 遍歷所有石頭，把第一個給alice, 第二個給bob, 第三個給alice …
• 把所得分數加起來，進行比較。

Stone struct {
  Score, Index int
}
func stoneGameVI(aliceValues []int, bobValues []int) int {
		stoneList []Stone
    for i,j, k := range aliceValues, bobValues{
      stoneList.add(Stone{i+j,k})
    }
	  sort(stoneList)
    alice, bob = 0,0
    for i, s := range stoneList {
      if i%2 == 0 {alice+= aliceValues[s.Index]}
      else {alice+= aliceValues[s.Index]}
    }
  
  return alice>bob ...
}

• 此題給了我啟發，以後要支筆寫寫公式，從數學角度分析一下。

注意

• 要對自己的分析加和，不是總分
• 要從大到小排序，帶上原來的編號

知識點

• 排序
• 貪心
• 數學

複雜度

• 時間複雜度：O(nlog(n))
• 空間複雜度：O(n)

參考

程式碼實現

type Stone struct {
	Score, Index int
}

type StoneList []Stone

func (p StoneList) Len() int           { return len(p) }
func (p StoneList) Less(i, j int) bool { return p[i].Score > p[j].Score }
func (p StoneList) Swap(i, j int)      { p[i], p[j] = p[j], p[i] }

func getResult(a, b int) int {
	if a > b {
		return 1
	}
	if a == b {
		return 0
	}
	return -1
}

func stoneGameVI(aliceValues []int, bobValues []int) int {
	stoneList := make(StoneList, len(aliceValues))
	for i, v := range aliceValues {
		stoneList[i] = Stone{v + bobValues[i], i}
	}
	sort.Sort(stoneList)
	alice, bob := 0, 0
	for i, s := range stoneList {
		if (i & 1) == 0 {
			alice += aliceValues[s.Index]
		} else {
			bob += bobValues[s.Index]
		}
	}

	return getResult(alice, bob)
}

func main() {
	fmt.Println(stoneGameVI([]int{2, 1}, []int{3, 1}))
	fmt.Println(stoneGameVI([]int{1, 2}, []int{3, 1}))
	fmt.Println(stoneGameVI([]int{1, 4, 3}, []int{1, 6, 7}))
	fmt.Println(stoneGameVI([]int{2, 1}, []int{3, 1}))
}

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