分類：
一維DP：給一個數，求數的某種序列；
二維DP：給一個序列，求序列的子序列

一 解題流程

以求最小和為例：
所求：最小和
狀態：當前最小和，dp[i][j]
狀態轉移：dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i][j+1]}
終止條件：

初始化：
填表順序：

二 動態規劃經典問題：

2.1 鋼條切割

給定長度為n的鋼條和一個價格表，價格表中為鋼條長度與價格的關係，求切割方案使總價格最大。

長度	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
價格	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

2.1.1 分析

1. 所求：最大價格
2. 狀態：當前長度的最大價格dp[i]
3. 狀態轉移：
   做法一：
   考慮將長度i劃分的所有方法，求其中的max
   dp[i]=max{S[1]+dp[i-1],dp[2]+dp[i-1,…]}
   【長度n有多少種分法？就是n可以由多少種整數加法運算得到？也就是n個球排列組合，最少一刀不切（切0刀），最多切n-1刀，為了簡單起見視為有順序的排列。切0刀有C(n-1,0)=1種可能，切1刀有C(n-1,1)=n-1種可能，切2刀有C(n-1,2)=(n-1)(n-2)/2種可能，切n-1刀有C(n-1,n-1)=1一種可能。沒法求了】乍一看這樣似乎能夠實現利用已經計算出的結果，但是可操作性很差。總得來看，DP要構建遞迴結構，這裡是作為迭代了，很難操作。感性上看，遞迴的以固定的方式分割，迭代是對問題分情況逐步解決。
   做法二：
   只講長度劃分為兩段，當前最優解為兩段最優解求和後的最大值
   dp[i]=max{d[i-1]+dp[1],}
   【迭代轉遞迴的一種思考方式：就像樹轉二叉樹一樣】
   4 終止條件：

2.1.2 實現

1. 初始化：
2. 填表方向：

2.2 矩陣鏈乘法

矩陣鏈乘法，加括號控制運算順序，不會改變最終計算結果，但是可以影響計算量。現在要求給矩陣鏈加括號，使得運算量最小。

與上面的鋼條分割一樣，是一個全域性分割方案的問題，且某一段的分割方式會影響前後段對應的結果值。直接套用一分為二遞迴。

2.2.1分析

1. 所求：最小運算量
2. 狀態：當前矩陣鏈的最小運算量
3. 狀態轉移：

dp[i][j]= min{
	dp[i][i+1]+dp[i+1][j]+F(i,i+1,j),
	...
	dp[i][k]+dp[k][j]+F(i,k,j),
	...
	dp[i][j-1]+dp[j-1][j]+F(i,j-1,j)
}

dp[i][i+k] 需要儲存的資訊：計算量、計算結果形狀（開始矩陣的行，末尾矩陣的列）

F(dp[i][k],dp[k][j])：計算矩陣(i...k)和矩陣(k+1...j)做乘法的計算量，只用到i的行，k的列，j的列即可計算

4. 終止條件：

i+1<j
j-1>i
==> j-i > 1
==> j-i = 2,3,...		也就是中間至少可以插一個k

i...j長度為1或2時，可以直接初始化求出來

關於終止條件和初始化：
終止條件這裡用 i+1<=j，行不行？大概也是可行的。但這樣狀態轉移方程的情況似乎更復雜。
實際上動態規劃中所有值都是會被求出來的，要麼是在初始化時，要麼是在狀態轉移時，那當然是讓狀態轉移方程情況越簡單越好。
所以，應該選擇對狀態轉移方程中條件約束更嚴格，將邊界情況放到初始化時去做，這樣狀態轉移方程更簡單清晰。

2.2.2 實現

1. 初始化：

長度為1、2的都初始化算出來

2. 填表方向：

dp[i][j] 在狀態轉移方程中已經規定j>i，所以只填右上部分即可
dp[i][i+1]+dp[i+1][j]+F(i,i+1,j)、dp[i][j-1]+dp[j-1][j]+F(i,j-1,j) 可以看到當前值依賴於i更大、j更小時的格子中的值

所以按照如下方式填表
for i= 大->小 
	for j= 小->大

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上面兩種問題，都可以視為區間分割問題：

一個區間由多個基本單元組成，現在要將基本單元分組，分組方式會影響目標值，求最優分組方式。

鋼條分割問題中，一個單位長度就是一個基本單元；中間任意擷取一個長度時，會影響前後段的結構，導致前後端輸出值變化。
矩陣鏈乘法問題中，一個矩陣就是一個基本單元；中間任意擷取一段矩陣時，會影響前後段的結構，導致前後端輸出值變化。
這種分割問題，用遞迴的思路就是不停地二分，用迭代就是逐個討論分割的段數（分兩段、分三段…），動態規劃解法根據遞迴二分的思路。

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2.2.3 完全揹包

容量一定，多個物體體積一定，物體價值不同，求價值最大/最小方案。

變形：將物體價值視為相同，可求物體數量最多/最少方案。