大廠常考動態規劃演算法題

大家好，今天我們來聊一聊股票交易問題。

​ Tips:炒股投資的朋友可以直接走了，這是程式設計師的筆試面試題，不是真正的去探討炒股哦！不過這兩天港股漲的不錯...

​ 前幾天群裡的小夥伴參加位元組面試，遇到了股票交易這麼一道題。今天我們就來分析一下。同時也給即將要參加校招的朋友們提供準備，這是位元組騰訊等大廠校招時常考的題目。

問題描述：

給定一個陣列prices,它的第i個元素 prices[i]表示一支給定股票第i天的價格。你只能選擇某一天買入這隻股票，並選擇在未來的某一個不同的日子賣出該股票。設計一個演算法來計算你所能獲取的最大利潤。返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回 0。

分析問題：

​ 拿到這個問題，我們就需要先思考用什麼樣的思想去解決。我們來看這個題目，這個問題是求最優解問題。初看題目，我們最容易想到的方法，就是暴力求解，即遍歷陣列，求出最大值和最小值，相減就是最大利潤。不過這裡有一個隱含條件，就是股票的賣出時機必須大於股票的買入時機。

def maxProfit(prices):
    #最大利潤
    ans = 0
    #股票賣出時機要大於股票買入時機
    for i in range(len(prices)):
        for j in range(i + 1, len(prices)):
            ans = max(ans, prices[j] - prices[i])
    return ans

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
maxProfit(prices)

​ 我們可以看出，這種求解的方法，時間複雜度是O(n^2)，那有沒有時間複雜度更優的方法呢？

​ 首先，我們來分析一下這個問題符合什麼“問題模型”呢？我們從0開始走，走到n-1，一共需要走n-1步，也就對應著n-1個階段。每個階段都只能往右走，並且每個階段都會對應一個狀態集合，我們把狀態定義為maxprofit[i]，其中i表示走到哪一步，maxprofit[i]的值表示從開始走到位置i的最大利潤是多少。所以這個問題是“多階段決策最優”問題，對於這類問題，我們首先要考慮能否用動態規劃的思想來解決，也就是看是否符合動態規劃的特徵：重複子問題、無後效性、最優子結構。

1. 無後效性：我們要想計算maxprofit[i]這個狀態，只需要關心maxprofit[i-1]的狀態，並不關心maxprofit[i-1]這個狀態是如何生成的。而且，我們只能往後移動，不允許後退。所以，前面階段的狀態確定之後，不會被後面階段的決策所改變。所以符合"無後效性"。

2. 重複子問題：如果要達到maxprofit[i]這個狀態，我們可以有不同的決策序列。比如假設第五天，我們的最大利潤是8，即maxprofit[i]的狀態為8，我們可以是第一天買入2，第三天賣出10。也可以第二天買入2，第三天賣出10。

3. 最優子結構：因為maxprofit[i]可以通過maxprofit[i-1]推匯出來，即符合“最優子結構”

   maxprofit[i]=max(maxprofit[i-1],prices[i]-minprice)
   

   下面我們看程式碼如何實現：

def maxProfit(prices):
    n=len(prices)
    if n==0:
        return 0
    maxPRofit=[0]*n
    minprice=prices[0]

    for i in range(1,n):
        minprice = min(minprice, prices[i])
        maxPRofit[i]=max(maxPRofit[i-1],prices[i]-minprice)

    return maxPRofit[-1]

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(maxProfit(prices))

​ 我們可以看出，這種求解的時間複雜度為O(n)。

擴充套件：

​ 我們再把問題複雜一點，假如我們可以進行多次交易一支股票。

給定一個陣列 prices，其中 prices[i] 是一支給定股票第 i 天的價格。設計一個演算法來計算你所能獲取的最大利潤。你可以儘可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）。注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

​ 這個問題的解題思路和上題類似，也是“多階段決策最優”問題。也符合動態規劃解題模型。不過這裡的“狀態”會有所區別，我們來看一下。

​ 考慮到“不能同時參與多筆交易”。所以，每天交易結束後手裡只可能存在有股票和沒有股票兩種狀態。所以，我們可以用二個陣列來表示，其中dp1[i]表示第i天交易後，手裡沒有股票的最大利潤。dp2[i]表示第i天交易完成後，手裡有股票的最大利潤。

​ dp1[i]表示第i天手裡沒有股票的最大利潤，那麼這個狀態要麼是由dp1[i-1]，即前一天手裡沒有股票的最大利潤，轉移過來。要麼由dp2[i-1]+prices[i]，即前一天手裡有股票，今天把這個股票賣出。所以dp1[i]的狀態轉移方程為：

dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]+prices[i])

​ dp2[i]表示第i天手裡有股票的最大利潤，那麼這個狀態要麼是由dp2[i-1]，即前一天手裡有股票的最大利潤，轉移過來。要麼由dp1[i-1]-prices[i]，即前一天手裡沒有股票，今天把這個股票進行買入。所以dp2[i]的狀態轉移方程為：

dp2[i]=max(dp2[i-1],dp1[i-1]-prices[i])

​ 所以我們程式碼實現如下所示：

def maxProfit(prices):
    n=len(prices)
    if n==0:
        return 0
    dp1=[0]*n
    dp2=[0]*n
    #手裡沒有股票
    dp1[0]=0
    #手裡有股票
    dp2[0]=-prices[0]
    for i in range(1,n):
        dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]+prices[i])
        dp2[i]=max(dp2[i-1],dp1[i-1]-prices[i])

    return dp1[n-1]

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(maxProfit(prices))

​ 我們再來把題目升級一下，即我們限制股票買賣的次數，比如我們只能交易兩次。

給定一個陣列，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。設計一個演算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成兩筆交易。
注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

​ 這個題目和上個題相比，狀態又發生了變化，這裡因為限制了交易次數，所以我們需要把交易次數的狀態也儲存起來。所以每天交易結束後，有5種狀態。

1. 未進行過任何操作。
2. 只進行過一次買入操作。
3. 進行過一次買入和賣出操作。
4. 完成一筆的交易前提下，進行了第二次買入操作。
5. 完成兩筆交易。

由於第一個狀態的利潤為0，所以我們不需要記錄。我們把剩下的4個狀態分別用buy₁,sell₁,buy₂,sell₂來表示。下面我們來看一下如何根據前一天的狀態，來通過轉移方程生成今天的4個狀態。

​ 對於buy₁而言，我們可以今天不操作，直接通過昨天的buy^′ ₁轉移過來，或者我們從未進行過任何操作前提下，今天買入股票。

​ buy₁ =max(buy^′ ₁,-prices[i])

​ 對於sell₁而言，我們今天可以不做任何操作，直接通過昨天的sell^′ ₁轉移過來，或者我們可以在只進行過一次買入交易的前提下，今天把股票賣出。

​ sell₁=max(sell^′ ₁,buy^′ ₁+prices[i]）

​ 對於buy₂而言，我們今天可以不做任何操作，直接通過昨天的buy^′ ₂轉移過來，或者，我們在進行過一筆完成的交易條件下，今天再把該股票買入。

​ buy₂=max(buy^′ ₂,sell^′ ₁-prices[i]）

​ 對於sell₂而言，我們今天可以不做任何操作，直接通過昨天的sell^′ ₂ 轉移過來，或者，我們在buy₂的前提下，今天把股票賣出。即

​ sell₂=max(sell^′ ₂,buy^′ ₂+prices[i]）

Tips:我們在計算sell1時，我們可以直接使用buy1而不是buy^′ ₁進行轉移。buy1比buy^′ ₁多考慮的是在第i天買入股票的情況，而轉移到sell1時，考慮的是在第i天賣出股票的情況，這樣在同一天買入並且賣出股票的收益為0，不會對結果產生影響。對於buy2和sell2也是同樣的考慮，我們可以直接用第i天求出的值來進行轉移。

buy1=max(buy1,-prices[i])
sell1=max(sell1,buy1+prices[i]
buy2=max(buy2,sell1-price[i])
sell2=max(sell2,buy2+prices[i])

我們來看程式碼實現：

def maxProfit(prices):
    n = len(prices)
    #表示以prices[0]買入股票
    buy1=-prices[0]
    #表示在同一天買入並且賣出，即為0
    sell1=0
    #表示同一天買入賣出後再以prices[0]的價格買入
    buy2=-prices[0]
    #表示同一天買入賣出兩次，即為0
    sell2 = 0
    for i in range(1, n):
        buy1 = max(buy1, -prices[i])
        sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])
        buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])
        sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])
    return sell2

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(maxProfit(prices))

最後

​ 對於像“多階段決策最優”問題來說，我們首先要考慮是否能用動態規劃來解決，看是否滿足動態規劃的三個特徵：重複子問題、最優子結構、無後效性。然後寫出狀態轉移方程，那問題基本就解決了。

​ 今天，我們就聊到這裡。更多有趣知識，請關注公眾號【程式設計師學長】。

​ 你知道的越多，你的思維也就越開闊，我們下期再見。