題面

洛谷十月月賽II T2
深海少女與胖頭魚
總共有 $n$ 條帶 「聖盾」的「胖頭魚」和 $m$ 條不帶聖盾的胖頭魚，每次等概率對一條存活的胖頭魚造成「劇毒」傷害。

現在想知道，期望造成多少次傷害可以殺死全部胖頭魚？

答案對 $998244353$ 取模。

「聖盾」：當擁有聖盾的胖頭魚受到傷害時，免疫這條魚所受到的本次傷害。免疫傷害後，聖盾被破壞。
「胖頭魚」：在一條胖頭魚的聖盾被破壞後，給予其他所有沒有死亡且沒有聖盾的胖頭魚聖盾。
「劇毒」：立即殺死沒有聖盾的胖頭魚。

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前置知識

數學期望

數學期望

※離散型：
如果隨機變數只取得有限個值或無窮能按一定次序一一列出，其值域為一個或若干個有限或無限區間，這樣的隨機變數稱為離散型隨機變數。
離散型隨機變數的一切可能的取值$x_i$與對應的概率$p(x_i)$乘積之和稱為該離散型隨機變數的數學期望(若該求和絕對收斂），記為$E(x)$。它是簡單算術平均的一種推廣，類似加權平均。

計算公式：$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$$

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快速冪

求a的n次方，即求$a^n=a\ast a\ast a\ast a\ast ...\ast a$（$n$個$a$），但是當$a,n$過大時，暴力的計算便不太適用了。
這時候我們就需要用到快速冪(<-標準解析)

快速冪，二進位制取冪（Binary Exponentiation，也稱平方法），是一個在 $O(logN)$ 的時間內計算 $a^n$ 的小技巧，而暴力的計算需要 $O(N)$ 的時間。而這個技巧也常常用在非計算的場景，因為它可以應用在任何具有結合律的運算中。

二進位制取冪的想法是，將取冪的任務按照指數的 二進位制表示 來分割成更小的任務

舉例：求$3^{13}$
$3^{13}=3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3\ast 3$

$3^{13}=3^2\ast 3^2\ast 3^2\ast 3^2\ast 3^2\ast 3^2\ast 3$

$3^{13}=3^4\ast 3^4\ast 3^4\ast 3$

$3^{13}=3^8\ast 3^4\ast 3$

即

$$3^{13}=3^{(1101{)}_2}=3^8\ast 3^4\ast 3$$

程式碼如下

int power(int a,int b,int mod)//快速冪求a^b
{
	int sum=1;//初始化答案
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			sum=sum*a%mod;//b為奇數，就乘一個當前的a
		b>>=1;//向下取整
		a=a*a%mod;
	}
	return sum%mod;
}

---

逆元

本題中需要在除法中取模，但這在普通運算中不可行，那麼就要用到逆元的知識
逆元素(百度百科)
費馬小定理(OI-Wiki)

條件：$p$為素數，$gcd(p,a)==1$
設$x$為在($mod$ $p$)條件下$a$的逆元

$$ax\equiv 1(modp)①$$

$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

$$\iff a\ast a^{p-2}\equiv 1(modp)②$$

由①②等價可得

$$x\equiv a^{p-2}(modp)$$

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題解

分析

期望DP

由子任務$m=0$得到啟發，先對$m=0$情況分析

I.先處理只有帶聖盾胖頭魚的情況

令$f_u$表示$u$條聖盾胖頭魚期望需要造成傷害的次數,$f_v$表示如圖所示中間狀態。首先我們需要消耗1次攻擊打破一個聖盾。

$$f_u=f_v+1$$

那麼下一次攻擊會有兩種情況：

1. 如果這次攻擊打到了沒有聖盾的那條魚，那麼這條魚死亡，狀態來到了$u-1$條帶聖盾胖頭魚的狀態。事件概率為$\frac{1}{u}$。
   

$$f_{v1}=\frac{1}{u}(f_{u-1}+1)$$

2. 如果這次攻擊打到了有聖盾的任意一條魚，那麼本質上是換了一條魚沒聖盾。事件概率為$\frac{u-1}{u}$（這裡因為$f_v$進入的狀態是已經破了一個聖盾的，所以要$-1$）。

$$f_{v2}=\frac{u-1}{u}(f_u+1-1)=\frac{u-1}{u}{f}_u$$

根據上面的分析，可以得出轉移方程：

$$f_i=\frac{1}{i}(f_{i-1}+1)+\frac{i-1}{i}{f}_i+1$$

進一步化簡可得：

$$f_i=f_{i-1}+i+1$$

$$f_1=2$$

根據求和公式即可$O(1)$求出$f_i$：

$$f_i=\sum _{i=1}^n(i+1)=\frac{i(i+3)}{2}$$

得到了$f_n$，接下來分析$m\ne 0$的情況

II.再處理加入不帶聖盾的胖頭魚

令$g_i$為$n$條帶盾魚，$i$條不帶聖盾的魚期望需要造成傷害的次數。

1. 如果這次攻擊打到了沒有聖盾的胖頭魚，那麼這條魚死亡，進入$g_{i-1}$的狀態。事件概率為$\frac{i}{n+i}$。

2. 如果這次攻擊打到了有聖盾的胖頭魚，那麼其他胖頭魚都會獲得聖盾，進入$f_{n+i}-1$的狀態（已經破了一個聖盾）。事件概率為$\frac{n}{n+i}$。

理解了上面的$f_i$，這段就很好理解了，不放圖了

歸納上式，得轉移方程：

$$g_i=\frac{i}{n+i}(g_{i-1}+1)+\frac{n}{n+i}{f}_{n+i}$$

答案即為$g_m$。可以先求出$f_i$，然後遞推計算$g_m$。

AC Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 1000010
#define mod 998244353
ll n,m;
ll g[MAXN];
ll power(ll a,ll b)//快速冪求逆元
{
	ll sum=1;
	a%=mod;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			sum=sum*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return sum%mod;
}
signed main(void)
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	ll p_2=power(2,mod-2)%mod;//2在（%mod）條件下的逆元 
	g[0]=( (p_2%mod * (n%mod))%mod * (n%mod+3)%mod )%mod;//好事多模
	//g[0]即為全部都是有聖盾洗頭魚，初始化為g[0]=f[n]; 
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	{
		ll p_ni=power( (n%mod+i)%mod , mod-2 ) %mod;//(n+i)在（%mod）條件下的逆元 
		
		ll k_n=( (p_2 * (n%mod))%mod * (n%mod+i+3)%mod )%mod;
		
		g[i]=( ( i * (g[i-1]%mod+1 )%mod * p_ni)%mod + k_n )%mod;
	}
	printf("%lld\n",g[m]%mod);//結束
	return 0;
}