[藍橋杯] 乘積最大（dfs或dp）

題目連結：https://www.dotcpp.com/oj/problem1602.html

題目描述
今年是國際數學聯盟確定的“2000——世界數學年”，又恰逢我國著名數學家華羅庚先生誕辰90週年。在華羅庚先生的家鄉江蘇金壇，組織了一場別開生面的數學智力競賽的活動，你的一個好朋友XZ也有幸得以參加。活動中，主持人給所有參加活動的選手出了這樣一道題目：

設有一個長度為N的數字串，要求選手使用K個乘號將它分成K+1個部分，找出一種分法，使得這K+1個部分的乘積能夠為最大。

同時，為了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個例子：

有一個數字串：312， 當N=3，K=1時會有以下兩種分法：

3 * 12=36
31 * 2=62

這時，符合題目要求的結果是：31*2=62

現在，請你幫助你的好朋友XZ設計一個程式，求得正確的答案。

輸入
程式的輸入共有兩行：
第一行共有2個自然數N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一個長度為N的數字串。

輸出
輸出所求得的最大乘積（一個自然數）。

樣例輸入

4 2
1231

樣例輸出

62

dfs需要傳入三個變數：值的大小 遍歷到那個位置 乘號用的數量
dfs程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
char mp[100];
int a[100];
int mx;
void dfs(int sum,int len,int num)///當前的乘積sum  遍歷到的位置len  使用的乘號的數量num
{
    if(len>n)
        return;
    if(num>k)
        return;
    if(num==k)
    {
        int res=0;
        for(int i=len+1; i<=n; i++)
            res=res*10+a[i];
        sum*=res;
        mx=max(mx,sum);
        return;
    }
    for(int i=1; i<=n-len; i++) ///還可以分成的長度
    {
        int res=0;
        for(int j=len+1; j<=len+i&&j!=n; j++)
            res=res*10+a[j];
        dfs(sum*res,len+i,num+1);
    }
    return;
}
int main()
{
    mx=0;
    scanf("%d%d",&n,&k);///字串的數量 乘號的數量
    scanf("%s",mp);
    int i=0;
    while(mp[i]!='\0')
    {
        a[i+1]=mp[i]-'0';
        i++;
    }
    dfs(1,0,0);///乘積*1
    printf("%d\n",mx);
    return 0;
}

dp思路：

dp[i][j]： 在長度為i的字串裡插入j個乘號，所得的乘積最大值為多少。
最終的答案就是dp[n][m]

狀態轉移方程： dp[i][j]=max{dp[k][j-1]*sum} k<i
dp[k][j-1] 表示長度為k的字串，插入j-1個乘號時它的乘積最大值為dp[k][j-1]
sum表示k到i這段字串表示的數字，也就是剩下的那部分字串的大小

舉例：
12345這個字串插入兩個乘號的最大乘積，也就是dp[4][2]為多少
那你要考慮,max{ dp[1][1] ,dp[2][1] ,dp[3][1] dp[4][1]} * sum

dp[1][1]sum表示 dp[1][1]乘2345
dp[2][1]sum表示 dp[2][1]乘345
dp[3][1]sum表示 dp[3][1]乘45
dp[4][1]sum表示dp[4][1]乘5

完整程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
char mp[100];
int a[100];
int dp[50][10];///dp[i][j]:前i個字元放j個乘號
int solve(int l,int r)
{
    int sum=0;
    for(int i=l; i<=r; i++)
        sum=sum*10+a[i];
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);///字串的數量 乘號的數量
    scanf("%s",mp);
    int i=0;
    while(mp[i]!='\0')
    {
        a[i+1]=mp[i]-'0';
        i++;
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dp[i][0]=solve(1,i);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=k&&j<=i-1; j++)///前i個字元最多可以放i-1個乘號
            for(int m=1; m<i; m++)
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[m][j-1]*solve(m+1,i));
    printf("%d\n",dp[n][k]);
    return 0;
}