火題大戰Vol.0 B
題目描述
\(n\) 個沙茶，被編號 \(1\)~$ n$。排完隊之後，每個沙茶希望，自己的相鄰的兩人只要無一個人的編號和自己的編號相差為 \(1\)（\(+1\) 或\(-1\)）就行；
現在想知道，存在多少方案滿足沙茶們如此不苛刻的條件。
輸入格式
只有一行且為用空格隔開的一個正整數 \(N\)。
輸出格式
一個非負整數，表示方案數對 \(7777777\) 取模。
樣例
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4
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2
樣例解釋
有兩種方案 \(2\ 4\ 1\ 3\) 和 \(3\ 1\ 4\ 2\)
資料範圍與提示
對於\(30\%\)的資料滿足\(N \leq 20\)
對於\(100\%\)的資料滿足\(1 \leq N \leq 1000\) ;
分析
我們設 \(f[i][j][0]\) 為填了 \(1\)到\(i\),當前有 \(j\) 對兩兩之間相差一的人,並且\(i\)和\(i-1\)不相鄰的方案數
設 \(f[i][j][1]\) 為填了 \(1\)到\(i\),當前有 \(j\) 對兩兩之間相差一的人,並且\(i\)和\(i-1\)相鄰的方案數
對於\(f[i][j][0]\)，如果我們在這\(j\)對人的中間插入一個數，那麼兩兩之間相差一的人會少一對，因為此時\(i\)和\(i-1\)不相鄰
轉移方程 \(f[i+1][j-1][0]+=j \times f[i][j][0]\)
如果我們在\(i\)的旁邊插入\(i+1\),那麼兩兩之間相差一的人會多一對，並且\(i\)和\(i+1\)相鄰，因此會轉移至 \(f[i+1][j+1][1]\)
轉移方程 \(f[i+1][j+1][1]+=2 \times f[i][j][0]\)
此時，我們在剩下的位置插入不會對對數產生影響，即
\(f[i+1][j][0]+=(i-1-j) \times f[i][j][0]\)
對於\(f[i][j][1]\) 如果我們在\(i\)和\(i-1\)的中間插入\(i+1\),則有
\(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1]\)
如果我們在\(i\)的另一邊插入\(i+1\)，則有
\(f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];\)
如果我們在其它的 \(j-1\) 個空位中插入，則有
\(f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1)\)
如果我們在其它的空位中插入，則有
\(f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j)\)
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
#define int long long
int f[maxn][maxn][3];
const int mod=7777777;
signed main(){
int n;
scanf("%lld",&n);
f[2][1][1]=2;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
f[i+1][j-1][0]+=j*f[i][j][0];
f[i+1][j-1][0]%=mod;
f[i+1][j+1][1]+=2*f[i][j][0];
f[i+1][j+1][1]%=mod;
if(i-j-1>0){
f[i+1][j][0]+=(i-1-j)*f[i][j][0];
f[i+1][j][0]%=mod;
}
if(j-1>0) {
f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1);
f[i+1][j-1][0]%=mod;
}
f[i+1][j][1]+=f[i][j][1];
f[i+1][j][1]%=mod;
f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];
f[i+1][j+1][1]%=mod;
f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j);
f[i+1][j][0]%=mod;
}
}
printf("%lld\n",f[n][0][0]);
return 0;
}