數位dp的定義引自洛穀日報#84：
求出在給定區間\([L,R]\)內，符合條件\(f(i)\)的數\(i\)的個數。條件\(f(i)\)一般與數的大小無關，而與數的組成有關。
由於是按位dp，數的大小對複雜度的影響很小。
由於數位dp狀態的上下文資訊比較多，所以一般用記憶化搜尋實現，而非遞推。
P4999 煩人的數學作業
題意簡述：\(T\)次詢問，每次給定\(L,R\)，輸出\([L,R]\)中所有數的數位和之和。
\(1\leq L\leq R\leq 10^{18},1\leq T\leq 20\)
我們發現範圍很大，如果模擬會超時。所以引入數位dp的做法，數位dp一般會利用字首和的思想，把\([L,R]\)轉化為\([1,R]-[1,L-1]\)，那麼怎麼計算\([1,x]\)呢？
用\(f[i][j]\)表示從最高位開始填了\(i\)位，數位和為\(j\)的答案。
思考如何轉移：因為我們從最高位開始填，那麼顯然每一位都有限制。拿\(520\)舉例：
- 第\(1\)位如果填\(0\sim 4\)，那麼後面可以隨便填沒有限制。
- 第\(1\)位如果填\(5\)，那麼第\(2\)位就要受限，如果填\(0\sim 1\)就和第一條一樣，填\(2\)就是第二條，這樣迴圈下去直到填完……
所以\(dfs\)的引數應有三個。
- \(pos\)，表示當前正在填哪一位，從最高位\(len\)（原數的位數）開始往前填，根節點\(pos=len\)，即正在填最高位。\(pos=0\)為結束條件。
- \(limit\)，
bool型別，表示當前這一位有沒有限制。 - \(sum\)，表示從最高位填到\(pos+1\)數位和是多少，用作遞迴結束的返回值。
但是我們發現這樣就是一個普通的模擬，把所有數都試了一遍。所以需要記憶化，如果\(f[pos][sum]\)已經計算過了，直接返回即可（需要注意\(limit=false\)時才能用）。
為什麼\(limit=false\)才需要記憶化，是因為\(limit=true\)的情況只有\(i=a[pos]\)（見程式碼），所以在遞迴樹上只是一條鏈，沒有記憶的必要。
至於時間複雜度，那就是狀態數量，換句話說就是\(f\)陣列的大小，因為呼叫是\(f[pos][sum]\)，所以大小是\(len*10len\)即\(log_{10}r\)，總\(O(T\ log_{10}r)\)
思考：傳遞的引數中如果有陣列等，為了節省空間，把它定義成全域性陣列，然後利用回溯傳遞狀態更好（這裡的\(pos,sum\)就可以這樣子最佳化掉，但是本身遞迴層數就不多，所以影響幾乎沒有）。
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int f[25][250],a[25],t,l,r;
int dfs(int pos,bool limit,int sum){
if(pos==0) return sum;
if(!limit&&f[pos][sum]) return f[pos][sum];
int rig=limit?a[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=rig;i++){
ans=(ans+dfs(pos-1,limit&&i==rig,sum+i))%mod;
//依次列舉這一位填什麼
//如果這一位沒有限制，那麼填前一位也一定沒有限制。
//如果這一位有限制，那麼只有這一位填的數為a[pos]時才有限制（具體上面有說明）
}
if(!limit) f[pos][sum]=ans;
return ans;
}
int solve(int x){//把x的值存入a陣列
int len=0;
while(x){
a[++len]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(len,1,0);
}
signed main(){
cin>>t;
while(t--){
cin>>l>>r;
cout<<(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod<<endl;
}
return 0;
}
P2602 [ZJOI2010] 數字計數
與剛才那道很像哦，只不過詢問的是\(0\sim 9\)每個數字出現多少次。一個求和，一個計數。
似乎數位dp一般思路就是先寫一個暴搜，然後再思考怎麼記憶化。一開始想到兩種暴搜思路：
- 將狀態表示成\(sta[10]\)，為了省空間不再透過引數傳遞，而是開一個全域性，透過回溯實現。傳遞的引數有\(pos\)和\(limit\)，含義和上面的一樣。具體過程也差不多，就是把所有狀態列舉一遍。\(pos=0\)時結束，把當前的\(sta\)加入到\(ans\)陣列中。最後輸出\(ans\)。
- 不用陣列表示狀態，開三個引數\(pos,limit,cnt\)，其中\(cnt\)表示數字\(x\)的出現次數（與上面的\(sum\)類似，不過一個是求和，一個是計數），\(pos=0\)結束，返回\(cnt\)。主函式中呼叫\(10\)次\(dfs\)，\(x\)分別取\(0\sim 9\)。呼叫一次輸出一個。
（注：這兩種思路都需要處理前導\(0\)的情況，所以上面只是簡單的思路，\(dfs\)的形參可能會隨需求有增加）
[留坑]