「筆記」對頂堆動態維護中位數

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• 問題
• 思路
• 程式碼
• 例題
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寫在前面

媽的為啥我不會這個

問題

給定 \(n\) 次操作，要求動態地維護一個可重集合，每次操作為下列三種形式之一：

• 給定引數 \(x\)，向集合中插入一個權值 \(x\)。
• 給定引數 \(x\)，刪除集合中已存在的一個權值 \(x\)。
• 查詢集合的中位數。

要求在 \(O(n\log n)\) 時間複雜度內實現。

思路

考慮對當前可重集合維護兩個 multiset，記它們分別為 \(A\) 與 \(B\)，\(A\) 中存小於等於中位數的權值，\(B\) 中存大於等於中位數的權值，且欽定 \(\operatorname{size}(A) \ge \operatorname{size}(B), \left|\operatorname{size}(A) - \operatorname{size}(B)\right|\le 1\)。則在此限制下 \(A\) 中最大的數即為集合的中位數。

考慮在上述限制下如何維護 \(A, B\)：

• 為了方便首先在 \(A\) 中插入極小值，\(B\) 中插入極大值。
• 對於插入操作，若給定引數 \(x\le \operatorname{max}\{A\}\)，則將 \(x\) 插入 \(A\)，否則插入 \(B\)。
• 對於刪除操作，先查詢 \(A\) 中是否存在 \(x\)，若存在則直接刪除，否則在 \(B\) 中查詢並刪除。
• 每次插入刪除操作後，都進行調整操作：若 \(\operatorname{size}(A) > \operatorname{size}(B) + 1\) 則不斷取出 \(A\) 中最大值插入 \(B\)；若 \(\operatorname{size}(B) > \operatorname{size}(A)\) 則不斷取出 \(B\) 中最小值插入 \(A\)。
• 完成調整後，查詢 \(A\) 中最大的數即為整個集合的中位數。

發現在上述過程中，單次調整至多僅會調整一個元素，則僅有常數次對 set 的操作。則單次插入/刪除時間複雜度 \(O(\log n)\) 級別，查詢 \(O(1)\) 級別。

注意 multiset.erase 時，若傳入的為值則會將所有值均刪除；傳入迭代器才僅會刪除一個。

程式碼

namespace Set {
  const int kInf = 1e9 + 2077;
  std::multiset<int> less, greater;
  void init() {
    less.clear(), greater.clear();
    less.insert(-kInf), greater.insert(kInf);
  }
  void adjust() {
    while (less.size() > greater.size() + 1) {
      std::multiset<int>::iterator it = (--less.end());
      greater.insert(*it);
      less.erase(it);
    }
    while (greater.size() > less.size()) {
      std::multiset<int>::iterator it = greater.begin();
      less.insert(*it);
      greater.erase(it);
    }
  }
  void add(int val_) {
    if (val_ <= *greater.begin()) less.insert(val_);
    else greater.insert(val_);
    adjust();
  }
  void del(int val_) {
    std::multiset<int>::iterator it = less.lower_bound(val_);
    if (it != less.end()) {
      less.erase(it);
    } else {
      it = greater.lower_bound(val_);
      greater.erase(it);
    }
    adjust();
  }
  int get_middle() {
    return *less.rbegin();
  }
}

例題

The 2023 ICPC Asia Jinan Regional Contest - K。

寫在最後

媽的為啥我不會這個