位反轉

這裡的位反轉(Bit Reversal)，指的是一個數的所有bit位依照中點對換位置，例如0b0101 0111 => 0b1110 1010。也可以叫二進位制逆序，按位逆序，位翻轉等等。

演算法原理

高效位反轉演算法原理：演算法運用了分治法(divide and conquer)，以兩個bit位一組，對調相鄰的bit位；然後再以4個bit位為一組，分成左邊兩個bit位一段和右邊兩個bit位一段，然後這兩段相互對調；然後再以8個bit位為一組，以此類推，最後完成位反轉。

32位數的高效位反轉演算法實現

下面舉例一個32位數的高效位反轉演算法程式碼:

unsigned int reverse(unsigned int x)
{
    x = (((x & 0xaaaaaaaa) >> 1) | ((x & 0x55555555) << 1));
    x = (((x & 0xcccccccc) >> 2) | ((x & 0x33333333) << 2));
    x = (((x & 0xf0f0f0f0) >> 4) | ((x & 0x0f0f0f0f) << 4));
    x = (((x & 0xff00ff00) >> 8) | ((x & 0x00ff00ff) << 8));
    
    return((x >> 16) | (x << 16));
}

下面進行逐行程式碼分析：

首先，我們要進行位反轉的是一個32位數，如下圖所示

分析第一行程式碼：

x = (((x & 0xaaaaaaaa) >> 1) | ((x & 0x55555555) << 1));

1. 0xaaaaaaaa

   0xaaaaaaaa 是從第0位開始，所有奇數位為1

   0xaaaaaaaa = 0b10101010101010101010101010101010

2. x & 0xaaaaaaaa
   x & 0xaaaaaaaa的結果如下圖所示：

3. (x & 0xaaaaaaaa) >> 1
   右移一位後結果如下圖所示：

4. 0x55555555

   0x55555555是從第0位開始，所有偶數位為1

   0x55555555 = 0b01010101010101010101010101010101

5. x & 0x55555555
   x & 0x55555555的結果如下圖所示：

6. (x & 0x55555555) << 1

   左移一位的結果如下圖所示：

7. x = (((x & 0xaaaaaaaa) >> 1) | ((x & 0x55555555) << 1));

然後兩個數或運算，結果如下圖所示：

第一行程式碼運算完成。
總結，x = (((x & 0xaaaaaaaa) >> 1) | ((x & 0x55555555) << 1));這行的程式碼就是以兩個bit位一組，對調相鄰的bit位。
圖解就是將下圖
轉換成

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分析第二行程式碼：

x = (((x & 0xcccccccc) >> 2) | ((x & 0x33333333) << 2));

目前x的數值為：

1. 0xcccccccc

   0xcccccccc是從第0位開始，0和1每隔兩位交替出現0
   xcccccccc = 0b11001100110011001100110011001100

2. x & 0xcccccccc

   x & 0xcccccccc的結果如下圖所示：

3. (x & 0xcccccccc) >> 2

   右移兩位後結果如下圖所示：

4. 0x33333333

   0x33333333是從第0位開始，1和0每隔兩位交替出現
   0x33333333 = 0b00110011001100110011001100110011

5. x & 0x33333333

x & 0x33333333的結果如下圖所示：

6. (x & 0x33333333) << 2

左移兩位後結果如下圖所示：

7. x = (((x & 0xcccccccc) >> 2) | ((x & 0x33333333) << 2));

然後兩個數或運算，結果如下圖所示：

第二行程式碼運算完成。
總結，x = (((x & 0xcccccccc) >> 2) | ((x & 0x33333333) << 2));這行的程式碼就是以4個bit位為一組，分成左邊兩個bit位一段和右邊兩個bit位一段，然後這兩段相互對調。
圖解就是將下圖
轉換成

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分析第三行程式碼：

x = (((x & 0xf0f0f0f0) >> 4) | ((x & 0x0f0f0f0f) << 4));

目前x的數值為：

1. 0xf0f0f0f0

   0xf0f0f0f0是從第0位開始，0和1每隔四位交替出現
   0xf0f0f0f0= 0b11110000111100001111000011110000

2. x & 0xf0f0f0f0

   x & 0xf0f0f0f0的結果如下圖所示：

3. (x & 0xf0f0f0f0) >> 4

   右移四位後結果如下圖所示：

4. 0x0f0f0f0f

   0x0f0f0f0f是從第0位開始，1和0每隔四位交替出現

   0x0f0f0f0f= 0b00001111000011110000111100001111

5. x & 0x0f0f0f0f

   x & 0x0f0f0f0f的結果如下圖所示：

6. (x & 0x0f0f0f0f) << 4

   左移四位後結果如下圖所示：

7. x = (((x & 0xf0f0f0f0) >> 4) | ((x & 0x0f0f0f0f) << 4));

   然後兩個數或運算，結果如下圖所示：

第三行程式碼運算完成。
總結，x = (((x & 0xf0f0f0f0) >> 4) | ((x & 0x0f0f0f0f) << 4));這行的程式碼就是以8個bit位為一組，分成左邊四個bit位一段和右邊四個bit位一段，然後這兩段相互對調。
圖解就是將下圖

轉換成

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分析第四行程式碼：

x = (((x & 0xff00ff00) >> 8) | ((x & 0x00ff00ff) << 8));

目前x的數值為：

1. 0xff00ff00

   0xff00ff00是從第0位開始，0和1每隔八位交替出現

   0xff00ff00= 0b11111111000000001111111100000000

2. x & 0xff00ff00

   x & 0xff00ff00的結果如下圖所示：

3. (x & 0xff00ff00) >> 8

   右移八位後結果如下圖所示：

4. 0x00ff00ff

   0x00ff00ff是從第0位開始，1和0每隔八位交替出現

   0x00ff00ff= 0b00000000111111110000000011111111

5. x & 0x00ff00ff

   x & 0x00ff00ff的結果如下圖所示：

6. (x & 0x00ff00ff) << 8

   左移八位後結果如下圖所示：
   

7. x = (((x & 0xff00ff00) >> 8) | ((x & 0x00ff00ff) << 8));

   然後兩個數或運算，結果如下圖所示：

第四行程式碼運算完成。
總結，x = (((x & 0xff00ff00) >> 8) | ((x & 0x00ff00ff) << 8));這行的程式碼就是以16個bit位為一組，分成左邊八個bit位一段和右邊八個bit位一段，然後這兩段相互對調。

圖解就是將下圖

轉換成

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分析最後一行程式碼：

((x >> 16) | (x << 16))

目前x的數值為：

高16bit與低16bit進行交換，結果如下圖：

完成整個位反轉演算法。

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8位數的高效位反轉演算法實現

如果要對8位數進行位反轉，原理相同，程式碼如下：

unsigned char reverse(unsigned char x)
{
    x = (((x & 0xaa) >> 1) | ((x & 0x55) << 1));
    x = (((x & 0xcc) >> 2) | ((x & 0x33) << 2));
    
    return ((x >> 4) | (x << 4));
}

即可實現對8位數的高效位反轉。

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[參考資料]
[Hacker’s Delight] 作者: Henry S. Warren Jr.
The Aggregate Magic Algorithms