[筆記]（更新中）最短路問題的變形

Sinktank發表於2024-11-27
筆記

求\(s\)到\(t\)必須經過某個點/某條邊的最短路

這個相當板子了，點\(u\)的答案是\(dis(s,u)+dis(u,t)\)，邊\(e=(u,v)\)的答案是\(\min(dis(s,u)+dis(v,t),dis(s,v)+dis(u,t))+w(e)\)。其中\(dis(u,v)\)表示\(u\)到\(v\)的最短路。

從\(s\)和\(t\)各跑一次Dijkstra，其中\(t\)用反圖。預處理出從\(s\)出發和以\(t\)結束的最短路即可。

求最短路數量

P2047 [NOI2007] 社交網路

  • 對於Dijkstra，在鬆弛時，如果\(d[u]+w=d[i]\)，則令\(cnt[i]\leftarrow cnt[i]+cnt[u]\)；否則令\(cnt[i]\leftarrow cnt[u]\)。
  • 對於Floyd，列舉\(i\)到\(j\)的中轉點\(k\)，如果\(d[i][k]+d[k][j]=d[i][j]\)，則令\(cnt[i][j]\leftarrow cnt[i][j]+cnt[i][k]\times cnt[k][j]\)；否則令\(cnt[i][j]\leftarrow cnt[i][k]\times cnt[k][j]\)。
    • 說明：列舉\(k\)之前的最短路經過的結點都只經過\(1\sim (k-1)\)的點，所以不會重複統計。
Dijkstra 堆最佳化 
struct edge{int to,w;};
vector<edge> G[N];
int d[N],cnt[N];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;
void dijkstra(int s){
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	memset(cnt,0,sizeof cnt);
	d[s]=0,cnt[s]=1,q.push({0,s});
	while(!q.empty()){
		auto t=q.top();
		int u=t.second;
		q.pop();
		if(t.first>d[u]) continue;
		for(auto i:G[u]){
			if(d[u]+i.w==d[i.to])
				cnt[i.to]+=cnt[u];
			if(d[u]+i.w<d[i.to]){
				d[i.to]=d[u]+i.w;
				q.push({d[i.to],i.to});
				cnt[i.to]=cnt[u];
			}
		}
	}
}
Floyd 
for(int k=1;k<=n;k++)
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(f[i][k]+f[k][j]==f[i][j])
				cnt[i][j]+=cnt[i][k]*cnt[k][j];
			else if(f[i][k]+f[k][j]<f[i][j])
				f[i][j]=f[i][k]+f[k][j],
				cnt[i][j]=cnt[i][k]*cnt[k][j];

求兩點間最大邊權的最小值

並不是例題：P2245 星際導航
P2245的雙倍經驗：P1967 [NOIP2013 提高組] 貨車運輸

P2245的正解是(Kruskal重構樹 / 最小生成樹) + LCA，這樣時間複雜度是\(O(m\log m)+O(n\log n)+O(q\log n)\)，每次詢問是\(O(\log n)\)的（當然也LCA可以離線求，複雜度上會更優一些）。

上面的題用最短路無法透過，但是在固定起點的情況下，Dijkstra可以做到\(O(m\log m)\)預處理，\(O(1)\)查詢；需要任意兩點間的答案時，Floyd可以\(O(n^3)\)預處理，\(O(1)\)查詢。

  • 對於Dijkstra，重新定義\(f[x]\)為到\(x\)的最大邊權的最小值。鬆弛時，\(f[i]=\min(f[i],\max(f[u],w))\)。
    • 初始化時\(f\)設為\(+\infty\)，\(f[s]=-\infty\)，優先佇列按升序。如果是最小邊權最大則反過來。
  • 對於Floyd，重新定義\(f[i][j]\)為\(i\)到\(j\)的最大邊權的最小值。轉移時\(f[i][j]=\min(\max(f[i][k],f[k][j]))\)。
    • 鄰接矩陣無邊處置為\(+\infty\)。如果是最小邊權最大則反過來。

求每個點到最近關鍵點（可能有多個）的距離

P9432 [NAPC-#1] rStage5 - Hard Conveyors ~ 題解

初始化時，將所有關鍵點的\(d\)設為\(0\)，其他設為\(+\infty\)，正常跑Dijkstra即可。

同時，也存在非最短路的線性做法，見上面的題解。

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