DP 的本質
一般 DP 的本質
- 狀態：點。（帶了值）
- 轉移：邊。
- DP：在 DAG 上推。（得到 / 更新 點的值）
特殊（類似 DP）
圖不是 DAG。有兩種思路：
- 解方程
- 簡單的：直接解（比如只有一個環）。
- 複雜的：高斯消元。
- 高斯消元。
- 高斯-約旦消元。
- 圖論
- 類似最短路：
- Dijkstra 演算法 / 類似 Dijkstra 的演算法。
- SPFA 演算法 / 類似 SPFA 的演算法。
- 其他的我可能還不知道。
- 類似最短路：
DP 的要素
（我目前想起來的。）
- 狀態。無後效性，設計方式：把之後要用的全部塞進狀態裡。
- 轉移方程。就近轉移，不重不漏。最值（min、max）、其他運算。
- 初值。按定義 / 為了轉移後得到的狀態的值正確。[也許要為了之後正確用奇怪的定義。]（？）（好像是 重返現世 那題）。[注意特殊情況。]（之前寫的，現在不知道例子是什麼）
- 最終答案。可能是一個狀態，可能是多個狀態運算起來。
可能一般按 狀態 -> 轉移方程 -> 初值、最終答案 的順序思考。
DP 的轉移方式
之前聽說叫“填表法”和“刷表法”。
推到其他狀態
在當前狀態上做改動。個人認為更符合正向思維。
似乎轉移對應關係複雜的時候用這種方式比較清晰方便。
從其他狀態轉移來
找之前的狀態。個人認為更符合逆向思維。
似乎更常用。
似乎在決策方面最佳化 DP 的時候常用。比如 單調棧、單調佇列、斜率、決策單調性、線段樹之類的 DS 大力找決策點 最佳化 DP。
DP 的轉移順序
按拓撲序
（我知識水平非常有限，不太瞭解拓撲序，這裡說拓撲序可能不止一種是不嚴謹的或錯誤的，但是就是這個意思 qwq。）
一般的轉移順序。本質上是按照 DAG 的拓撲序。
注意拓撲序可能不止一種，有時換一種順序可能可以最佳化 DP，換順序如：二維狀態的 DP，先列舉哪一維後列舉哪一維可能可以顛倒。（如：把序列分割成給定個數個區間的題。）
記憶化搜尋
避免了轉移順序的問題。
注意初始化 \(vis\) 陣列（或者直接把 \(f\) 初始化成 \(-1\) 之類的）。
時間複雜度[一般要]（？）結合狀態數來分析，但不一定等於狀態數，可能還要算上轉移和其他的代價。（如二維區間 DP。）
典型例子是數位 DP、二維區間 DP。