合法方案數（dp）

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1606E

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第3題 合法方案數 檢視測評資料資訊

有n個人，他們要進行下面的程序：每輪設存活i個人，那麼每個存活的人會對其他人造成1點血量的代價，血量小於等於零就會被淘汰，現在需要你給他們每個人設定一個在[1,x]之間的初始血量，使得某輪遊戲結束後，無人生還，求這樣的方案數。對998244353取模

輸入格式

第一行兩個整數n和x

2<=n<=500,1<=x<=500

輸出格式

一個整數

輸入/輸出例子1

輸入：

2 5

輸出：

5

樣例解釋

無

定dp狀態時，不知道每個值的具體數，但又需要用到，可以定為這一堆值中的最大值是多少，再慢慢推！

又一道dp好題

這題看著是很迷糊的，但是看到方案數應該要想到dp。考慮到n的範圍較小，可以選用二維到三維。我們先考慮二維，不行再補一個維

定f(i, j)表示: 現在有i個人活著，且這i個人最大的那個人的血量j

這是根據題目中兩個關鍵變數定的，第二維就很奇妙，幾乎涵蓋每個人的血量

然後分類轉移。

由題目知，每個人會扣i-1的血量，那我們討論這一堆人是死光還是沒死光

死光：

i-1>=j，很顯然是這個條件，具體轉移方程呢？

考慮用減法原理（正面不好想）轉化為，全部方案數-最大血量不為j的數量，就求出了最大血量為j的方案數

全部方案數：每個人最多j點血量，共i人，全部方案數就為 j^i

最大血量不為j：每個人最多j-1點血量，共i人，全部方案數就為 (j-1)^i

總結就是 f(i, j)=j^i-(j-1)^i

沒死光：

就是死光的反過來，i-1<j

沒死光可以討論部分人活著，部分人死了，最後他倆相乘即可

設活著k人。那麼考慮這k個人分別在哪個位置，以及他們的最大血量（j減去i-1嘛）

活著方案數：C(i, k) * f(k, j-(i-1))

死了的人，死前最大血量容易得出是i-1，即為扣除血量，有i-k人死了，就推出以下式子（因為活著的人位置已經選過了，那死的人的位置自然確定好了）

死了方案數： (i-1)^(i-k)

總結就是 f(i, j)=C(k, i) * f(k, j-(i-1)) * (i-1)^(i-k)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505, Mod=998244353;

int n, x;
long long ans=0, f[N][N], yh[N][N];
long long Pow(long long a, long long b)
{
	long long sum=1;
	while (b)
	{
		if (b&1) sum=sum%Mod*a%Mod;
		b>>=1;
		a=a*a%Mod;
	}
	return sum;
}
void yanghui()
{
	for (int i=1; i<504; i++)
	{
		yh[i][1]=yh[i][i]=1;
		for (int j=2; j<i; j++)
		{
			yh[i][j]=(yh[i-1][j]+yh[i-1][j-1])%Mod;
		}
	}
}
long long C(int n, int m)
{
	return yh[n+1][m+1];
}
int main()
{
	yanghui();
	scanf("%d%d", &n, &x);
	
	for (int i=2; i<=n; i++)
	{
		for (int j=1; j<=x; j++)
		{
			if (i-1>=j) f[i][j]=(Pow(j, i)-Pow(j-1, i)+Mod)%Mod;
			else
			{
				for (int k=1; k<=i; k++)
				{
					f[i][j]=(f[i][j]+((C(i, k)*f[k][j-(i-1)])%Mod*Pow(i-1, i-k))%Mod)%Mod;
				}
			}
		}
	}
	
	for (int i=1; i<=x; i++) ans=(ans+f[n][i])%Mod;
	
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}