雜題口胡2024.6.29。
靈感來自某 j 姓人士的部落格。事實上之前也有這樣做過，但是沒寫部落格記錄下來。
無營養熱身題
1.[ARC122D] XOR Game
黑板上有 \(2n\) 個整數 \(a_{1\dots 2n}\)。每輪操作，Alice 先從黑板上選擇一個數 \(x\) 並將其擦掉，Bob 再從黑板上選擇一個數 \(y\) 並將其擦掉，然後把 \(x\oplus y\) 寫在筆記本上。遊戲的分數是最終筆記本上 \(n\) 個數的最大值。Alice 的目標是將分數最大化，Bob 的目標是將分數最小化。請求出兩者採取最佳行動的情況下，遊戲的分數是多少。
\(1\le n\le 2\times 10^5\)，\(0\le a_i<2^{30}\)
這種題大機率要一位一位貪心。
發現如果某一位有偶數個 \(1\)（等價於有偶數個 \(0\)），那麼 Alice 選 \(1\)，Bob 也選 \(1\)；Alice 選 \(0\)，Bob 也選 \(0\)，可以分成兩組遞迴下去。
否則這一位必定是 \(1\)，只要找出異或值最小的兩個數即可。
正常題
1.[CF1704H] Game of AI
在困難版本中你需要回答 \(\bm{n=1,2,\dots,k}\) 時的答案，簡單版本中你只需要回答 \(\bm{n=k}\) 時的答案。
Cirno 在玩一款有 \(n\) 個塔和 \(n\) 個機器人的戰爭模擬遊戲。一開始第 \(i\) 個機器人佔領了第 \(i\) 個塔。
在遊戲開始之前，Cirno 可以選擇一個長度為 \(n\) 的排列 \(p_n\) 和長度為 \(n\) 的正整數序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。其中 \(1\leq a_i\leq n\) 且 \(a_i\not =i\)。
遊戲中有 \(n\) 次攻擊：第 \(i\) 輪當中：
- 如果機器人 \(p_i\) 還在賽場，那麼它會佔領 \(a_{p_i}\)，這時原來佔領 \(a_{p_i}\) 的機器人不再佔領 \(a_{p_i}\)。
- 否則，不會發生任何事情。
每輪遊戲結束後，沒有佔領任何塔的機器人會退出遊戲。
遊戲結束後 Cirno 會統計佔領每一個塔 \(i\) 的機器人編號 \(b_i\)。
作為數學大師，你需要求所有數列對 \((a,b)\) 使得存在可能的 \(p_i\) 使得經過上面遊戲後統計到的結果為 \(b\)。
答案對 \(M\) 取模。\(k\leq 10^5,2\leq M\leq 10^9\)。保證 \(M-1\) 是 \(2^{18}\) 的倍數。
見題目知 poly。
先考慮對於給定的序列 \(a\) 單獨計數。邊 \((i,a_i)\) 形成了一棵基環樹。每個波特只會動一下，因此當且僅當它在動之前被偷家了，它的回合才會跳過。
這樣可以把一棵基環樹拆成若干棵小樹，每顆小樹中，點 \(i\) 上的機器人往 \(a_i\) 移動了一格（樹根是在動之前被偷家了的那個）。
對於環要特別考慮，斷一條邊。因此先把環的情況扔掉。