BZOJ 1597 [Usaco2008 Mar]土地購買：斜率優化dp

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

題意：

　　有n塊矩形土地，長為a[i]，寬為b[i]。

　　FJ想要將這n塊土地全部買下來。

　　土地可以分組購買。

　　若有某一些土地被分到了一組，則將這一組土地全部買下的花費為他們的max(a[i])*max(b[i])。

　　問你最小總花費是多少。

 

題解：

　　首先，如果一塊土地能夠被另一塊土地完全包含（即長寬都比另一個小），那麼被包含的那塊土地可以忽略不計。

　　然後貪心地考慮如何使花費最小：

　　　　如果要使花費盡可能小，則分在同一組中矩形的長寬差距應儘可能地小。

　　所以將長a[i]作為第一關鍵字，將寬b[i]作為第二關鍵字排序。

　　此時矩形的長a[i]一定是非降的，那麼對於兩個矩形i和j(i<j)，如果有b[i]<=b[j]，則j一定能完全包含i。

　　利用這一特性將所有能被包含的矩形去掉。

　　此時矩形的寬b[i]就變成了嚴格遞減的了。

　　顯然，此時分到一組中的矩形必須是連續的一段區間，才有可能最優。

　　然後就可以dp了。

 

　　表示狀態：

　　　　dp[i]表示已經購買了前i塊土地的最小花費。

　　找出答案：

　　　　假設去掉能被包含的矩形之後，矩形總數為tot。

　　　　ans = dp[tot]

　　如何轉移：

　　　　dp[i] = min dp[j] + a[i]*b[j+1]

　　邊界條件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率優化：

　　　　設j < k，且k的決策更優。

　　　　則：dp[j] + a[i]*b[j+1] > dp[k] + a[i]*b[k+1]

　　　　整理得：(dp[k]-dp[j])/(b[j+1]-b[k+1]) < a[i]

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]-dp[j])/(b[j+1]-b[i+1])

　　　　由於a[i]非降，所以用單調佇列維護下凸殼即可。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define MAX_N 50005

using namespace std;

struct Rect
{
    long long a,b;
    Rect(long long _a,long long _b)
    {
        a=_a; b=_b;
    }
    Rect(){}
    friend bool operator < (const Rect &x,const Rect &y)
    {
        return x.a!=y.a ? x.a<y.a : x.b<y.b;
    }
};

int n;
int q[MAX_N];
long long dp[MAX_N];
Rect x[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x[i].a>>x[i].b;
    }
}

inline double slope(int i,int j)
{
    return (double)(dp[i]-dp[j])/(x[j+1].b-x[i+1].b);
}

void work()
{
    sort(x+1,x+1+n);
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tot && x[i].b>=x[tot].b) tot--;
        x[++tot]=x[i];
    }
    x[tot+1]=Rect(0,0);
    int l=1,r=1;
    q[1]=0,dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=x[i].a) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+x[i].a*x[q[l]+1].b;
        while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<dp[tot]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    work();
}