BZOJ 1835 [ZJOI2010]base 基站選址：線段樹優化dp

Leohh發表於2018-05-28
優化

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題意

有 $ n $ 個村莊在一排直線上，現在要建造不超過 $ K $ 個通訊基站，基站只能造在村莊處。

第 $ i $ 個村莊距離第 $ 1 $ 個村莊的距離為 $ D_i $ 。在此建造基站的費用為 $ C_i $ 。如果在此不超過 $ S_i $ 的範圍內有基站，那麼這個村莊就被覆蓋了。如果它沒有被覆蓋，則需要花費 $ W_i $ 的補償費用。

問你最小總花費是多少。

題解

首先有一個很顯然的dp：

$ dp[i][j] $ 表示在第 $ i $ 個村莊建了基站，此時一共建了 $ j $ 個基站，第 $ i $ 個以及之前村莊的最小花費。

轉移為：
\[ dp[i][j] = min(dp[k][j-1] + cost(k,i)) \quad (k<i) \]
其中 $ cost(k,i) $ 表示如果在 $ k $ 和 $ i $ 建了基站，並且它們之間沒有建基站，此時村莊 $ k $ 到村莊 $ i $ 之間的花費，即：
\[ cost(i,j) = \sum_{k=i}^j W_k * [|D_k-D_i|>S_k \text{ } \& \text{ } |D_k-D_j|>S_k] \]
​

然後考慮如何優化。

先定義 $ l_i $ 和 $ r_i $ 分別表示能夠覆蓋村莊 $ i $ 的最左和最右的基站建造位置，可以直接二分出來。

我們希望對於每個 $ j $ 來說，在 $ i $ 不斷遞增的過程中，動態地維護 $ F(k) = dp[k][j-1] + cost(k,i) $ 的最小值。

假設當前已經求出了 $ dp[i-1][j] $ ，接下來該求 $ dp[i][j] $ 了。

那麼對於所有滿足 $ r_p = i-1 $ 的 $ p $ 來說，所有 $ F(k) \quad (k \in [1,l_p-1]) $ 都應該加上 $ W_p $ 。也就是將基站從 $ i-1 $ 移動到 $ i $ 之後，給對應的 $ F(k) $ 加上了那些本來被覆蓋但是現在不覆蓋的村莊的補償費。

所以對於當前的 $ i ​$ 來說，$ dp[i][j] = min(F(k)) \quad (k \in [1,i-1]) ​$

由於有區間加法和查區間最小值，所以要用線段樹維護 $ F(k) $ 。對於每個 $ j $ 來說，在一開始重建一下線段樹就好。

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MAX_N 20005
#define MAX_V 80005
#define INF 1000000000
#define int long long

using namespace std;

int n,K,ans;
int d[MAX_N];
int c[MAX_N];
int s[MAX_N];
int w[MAX_N];
int l[MAX_N];
int r[MAX_N];
int dp[MAX_N];
int dat[MAX_V];
int tag[MAX_V];
vector<int> v[MAX_N];

void read()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&K);
    for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%lld",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&w[i]);
    d[++n]=INF,w[n]=INF,K++;
}

void cal_lr()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        l[i]=lower_bound(d+1,d+1+n,d[i]-s[i])-d;
        r[i]=upper_bound(d+1,d+1+n,d[i]+s[i])-d-1;
        v[r[i]].push_back(i);
    }
}

void push_down(int k)
{
    if(tag[k])
    {
        dat[k*2+1]+=tag[k];
        dat[k*2+2]+=tag[k];
        tag[k*2+1]+=tag[k];
        tag[k*2+2]+=tag[k];
        tag[k]=0;
    }
}

void push_up(int k)
{
    dat[k]=min(dat[k*2+1],dat[k*2+2]);
}

void build(int l,int r,int k)
{
    if(l==r)
    {
        dat[k]=dp[l];
        tag[k]=0;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,k*2+1);
    build(mid+1,r,k*2+2);
    push_up(k);
    tag[k]=0;
}

void update(int a,int b,int k,int l,int r,int x)
{
    if(a<=l && r<=b)
    {
        dat[k]+=x;
        tag[k]+=x;
        return;
    }
    push_down(k);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(a<=mid) update(a,b,k*2+1,l,mid,x);
    if(b>mid) update(a,b,k*2+2,mid+1,r,x);
    push_up(k);
}

int query(int a,int b,int k,int l,int r)
{
    if(a<=l && r<=b) return dat[k];
    push_down(k);
    int mid=(l+r)>>1,ans=INF;
    if(a<=mid) ans=min(ans,query(a,b,k*2+1,l,mid));
    if(b>mid) ans=min(ans,query(a,b,k*2+2,mid+1,r));
    return ans;
}

void cal_dp()
{
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=sum+c[i];
        for(int j=0;j<v[i].size();j++) sum+=w[v[i][j]];
    }
    ans=dp[n];
    for(int j=2;j<=K;j++)
    {
        build(1,n,0);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i>1) dp[i]=query(1,i-1,0,1,n)+c[i];
            else dp[i]=c[i];
            for(int k=0;k<v[i].size();k++)
            {
                int t=v[i][k];
                if(l[t]>1) update(1,l[t]-1,0,1,n,w[t]);
            }
        }
        ans=min(ans,dp[n]);
    }
}

void work()
{
    cal_lr();
    cal_dp();
    printf("%lld\n",ans);
}

signed main()
{
    read();
    work();
}

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