線段樹最佳化建圖

Yaosicheng124發表於2024-07-21

首先看這個問題：

一張 \(N\) 個點的有向圖，初始沒有任何邊，有 \(M\) 次操作：

  • 建 \(1\) 條邊 \(u\rightarrow v\)，邊權為 \(w\)。
  • 建 \(r-l+1\) 條邊 \(u\rightarrow \forall i\in[l,r]\)，邊權為 \(w\)。
  • 建 \(r-l+1\) 條邊 \(\forall i\in[l,r]\rightarrow u\)，邊權為 \(w\)。

求建完邊後從 \(1\) 到所有點的最短路。

直接暴力建邊肯定是無法接受的，所以我們使用線段樹的思想試一試，先建一棵線段樹，但這棵樹是外向的：

image

這時可以發現，所有詢問的區間均可拆成 \(O(\log N)\) 個區間！這樣就能大大降低時間和空間複雜度。

但這隻能解決第 \(2\) 種型別的邊，所以還需要建一棵內向的線段樹，並把邊權設為 \(0\)：

image

時間複雜度 \(O(M\log N)\)，空間複雜度 \(O(N+M\log N)\)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;

const int MAXN = 100001;
const ll INF = (ll)(1e18);

struct Node {
  int u;
  ll dis;
};

struct cmp {
  bool operator()(const Node &a, const Node &b) const {
    return a.dis > b.dis;
  }
};

vector<pii> e[10 * MAXN];

struct Segment_Tree {
  int l[4 * MAXN], r[4 * MAXN], id[4 * MAXN];
  void build(int u, int s, int t, int x, bool op) {
    l[u] = s, r[u] = t, id[u] = u + x;
    if(s == t) {
      (!op ? e[id[u]].push_back({s, 0}) : e[s].push_back({id[u], 0}));
      return;
    }
    int mid = (s + t) >> 1;
    build(2 * u, s, mid, x, op), build(2 * u + 1, mid + 1, t, x, op);
    (!op ? (e[id[u]].push_back({id[2 * u], 0}), e[id[u]].push_back({id[2 * u + 1], 0})) : (e[id[2 * u]].push_back({id[u], 0}), e[id[2 * u + 1]].push_back({id[u], 0})));
  }
  void update(int u, int s, int t, int v, int w, bool op) {
    if(l[u] >= s && r[u] <= t) {
      (!op ? e[v].push_back({id[u], w}) : e[id[u]].push_back({v, w}));
      return;
    }
    if(s <= r[2 * u]) {
      update(2 * u, s, t, v, w, op);
    }
    if(t >= l[2 * u + 1]) {
      update(2 * u + 1, s, t, v, w, op);
    }
  }
}tr[2];

int n, q, s;
bool vis[10 * MAXN];
ll dist[10 * MAXN];

void dij(int s) {
  priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> pq;
  fill(dist + 1, dist + 10 * n + 1, INF);
  dist[s] = 0;
  pq.push({s, 0});
  for(; !pq.empty(); ) {
    auto [u, dis] = pq.top();
    pq.pop();
    if(vis[u]) {
      continue;
    }
    vis[u] = 1;
    for(auto [v, w] : e[u]) {
      if(dis + w < dist[v]) {
        dist[v] = dis + w;
        pq.push({v, dis + w});
      }
    }
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> q >> s;
  tr[0].build(1, 1, n, n, 0), tr[1].build(1, 1, n, 5 * n, 1);
  for(int i = 1, op, u, v, w, l, r; i <= q; ++i) {
    cin >> op;
    if(op == 1) {
      cin >> u >> v >> w;
      e[u].push_back({v, w});
    }else if(op == 2) {
      cin >> u >> l >> r >> w;
      tr[0].update(1, l, r, u, w, 0);
    }else {
      cin >> u >> l >> r >> w;
      tr[1].update(1, l, r, u, w, 1);
    }
  }
  dij(s);
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cout << (dist[i] == INF ? -1 : dist[i]) << " ";
  }
  return 0;
}

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