Codeforces 402D Upgrading Array：貪心 + 數學

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/402/D

題意：

　　給你一個長度為n的數列a[i]，又給出了m個“壞質數”b[i]。

　　定義函式f(s)，其中p是s的最小質因子:

　　　　f(1) = 0

　　　　f(s) = f(s/p) + 1 （p不是壞質數）

　　　　f(s) = f(s/p) - 1 （p是壞質數）

　　你可以任意次數地進行操作：給a[1 to i]的每個數都除以gcd(a[1 to i])。

　　問你 ∑ f(a[i)最大為多少。

 

題解：

　　函式f(s)的實際意義是：

　　　　s的質因子中，好質數的個數 - 壞質數的個數。

　　每一次操作的實際意義是：

　　　　對於所選字首中的每個數，從它的質因子中丟掉若干個好質數和壞質數。

　　顯然，要想使 ∑ f(a[i)更大，則：

　　　　對於每次操作，當且僅當丟掉的壞質數的個數大於丟掉好質數的個數時，才會執行操作。

 

　　然後考慮操作順序所帶來的影響：

　　　　假設有i < j。

　　　　如果先執行操作opt(1 to i)，再執行操作opt(1 to j)：

　　　　　　由於第一次操作已經使得gcd(a[1 to i])變為1，並且區間[1,j]包含著[1,i]。

　　　　　　所以此時gcd(a[1 to j]) = 1，即第二次操作是無效的。

　　　　　　也就是說，a[i+1 to j]中的一些數，本身可以對答案做出貢獻，卻因為第一次操作而失效。

　　　　如果先執行操作opt(1 to j)，再執行操作opt(1 to i)：

　　　　　　因為第一次操作已經將a[i+1 to j]中可以除掉的壞質數全部除掉，並將a[1 to i]中的一部分壞質數除掉。

　　　　　　所以在第二次操作時，只要將a[1 to i]中剩下的壞質數除掉即可，不會有任何浪費。

　　所以從後往前貪心地操作就好啦。

 

　　複雜度分析：

　　　　（1）預處理出字首gcd[i]：

　　　　　　O(n*logn)

　　　　（2）處理出所有操作完成後的數列a[i]（要分解質因數）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

　　　　（3）算出所有的f(a[i])（還要分解質因數）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <set>
#define MAX_N 5005

using namespace std;

int n,m;
int a[MAX_N];
int g[MAX_N];
set<int> st;

void read()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    int x;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x;
        st.insert(x);
    }
}

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

void cal_g()
{
    g[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        g[i]=gcd(g[i-1],a[i]);
    }
}

pair<int,int> cal_p(int x)
{
    int good=0;
    int bad=0;
    for(int i=2,t=sqrt(x);i<=t;i++)
    {
        int cnt=0;
        while(x%i==0)
        {
            x/=i;
            cnt++;
        }
        if(cnt)
        {
            if(st.count(i)>0) bad+=cnt;
            else good+=cnt;
        }
    }
    if(x!=1)
    {
        if(st.count(x)>0) bad++;
        else good++;
    }
    return pair<int,int>(good,bad);
}

bool check(int x)
{
    pair<int,int> p=cal_p(x);
    return p.first<p.second;
}

void cal_a()
{
    int d=1;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(check(g[i]/d)) d=g[i];
        a[i]/=d;
    }
}

int cal_f()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pair<int,int> p=cal_p(a[i]);
        ans+=p.first-p.second;
    }
    return ans;
}

void work()
{
    cal_g();
    cal_a();
    cout<<cal_f()<<endl;
}

int main()
{
    read();
    work();
}