BZOJ 1600 [Usaco2008 Oct]建造柵欄：dp【字首和優化】

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1600

題意：

　　給你一個長度為n的木板，讓你把這個木板切割成四段（長度為整數），並且要求這四段可以構成一個四邊形。

　　問你有多少種切割方法（切割點不同就算不同）。

 

題解：

　　構成四邊形的條件：

　　　　任意一邊長度 < 周長/2

　　　　證明：設四邊為a,b,c,d。因為有a < b+c+d，所以2*a < a+b+c+d = C，所以a < C/2。

 

　　簡化問題：

　　　　給你n個小木塊，排成一排。問你將這些小木塊分成四部分，且能構成四邊形的方案數。

 

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　i：已經選了前i個木塊

　　　　j：已經分成了j部分

 

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n][4]

　　　　第n塊已經選了，共被分成了4部分。

 

　　如何轉移：

　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-k][j-1]　(k <= i, k < (n+1)/2)

　　　　同時保證下標 >= 0，以及邊長k < 周長/2。

 

　　邊界條件：

　　　　dp[0][0] = 1

　　　　others = 0

　　　　什麼都沒選為一種方案。

 

　　優化：

　　　　字首和。

　　　　（其實不優化也能過。。。）

 

AC Code:

// state expression:
// dp[i][j] = combinations
// i: considering ith board
//
// find the answer:
// ans = dp[n][4]
//
// transferring:
// dp[i][j] = sigma dp[i-k][j-1]
// k: 1 to min(half,i)
//
// boundary:
// dp[0][0] = 1
// others = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 2505

using namespace std;

int n;
int dp[MAX_N][5];
int sum[MAX_N][5];

void read()
{
    cin>>n;
}

int cal_sum(int x,int y,int k)
{
    if(x==0) return sum[y][k];
    return sum[y][k]-sum[x-1][k];
}

void update_sum(int x,int y)
{
    if(x==0) sum[x][y]=dp[x][y];
    else sum[x][y]=sum[x-1][y]+dp[x][y];
}

void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        sum[i][0]=1;
    }
    for(int j=1;j<=4;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][j]=cal_sum(max(0,i-(n+1)/2+1),i-1,j-1);
            update_sum(i,j);
        }
    }
}

void print()
{
    cout<<dp[n][4]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}