線性迴歸可以說是機器學習中最基本的問題型別了，這裡就對線性迴歸的原理和演算法做一個小結。
1. 線性迴歸的模型函式和損失函式
線性迴歸遇到的問題一般是這樣的。我們有m個樣本，每個樣本對應於n維特徵和一個結果輸出，如下：
\((x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ...x_n^{(0)}, y_0), (x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, ...x_n^{(1)},y_1), ... (x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, ...x_n^{(m)}, y_m)\)
我們的問題是，對於一個新的\((x_1^{(x)}, x_2^{(x)}, ...x_n^{(x)} \), 他所對應的\(y_x\)是多少呢？ 如果這個問題裡面的y是連續的，則是一個迴歸問題，否則是一個分類問題。
對於n維特徵的樣本資料，如果我們決定使用線性迴歸，那麼對應的模型是這樣的：
\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 其中\(\theta_i \) (i = 0,1,2... n)為模型引數，\(x_i \) (i = 0,1,2... n)為每個樣本的n個特徵值。這個表示可以簡化，我們增加一個特徵\(x_0 = 1 \) ，這樣\(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}\)。
進一步用矩陣形式表達更加簡潔如下：
\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X}) = \mathbf{X\theta}\)
其中， 假設函式\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})\)為mx1的向量,\(\mathbf{\theta}\)為nx1的向量，裡面有n個代數法的模型引數。\(\mathbf{X}\)為mxn維的矩陣。m代表樣本的個數，n代表樣本的特徵數。
得到了模型，我們需要求出需要的損失函式，一般線性迴歸我們用均方誤差作為損失函式。損失函式的代數法表示如下：
\(J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) - y_i)^2\)
進一步用矩陣形式表達損失函式：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
由於矩陣法表達比較的簡潔，後面我們將統一採用矩陣方式表達模型函式和損失函式。
2. 線性迴歸的演算法
對於線性迴歸的損失函式\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)，我們常用的有兩種方法來求損失函式最小化時候的\(\mathbf{\theta}\)引數：一種是梯度下降法，一種是最小二乘法。由於已經在其它篇中單獨介紹了梯度下降法和最小二乘法，可以點連結到對應的文章連結去閱讀。
如果採用梯度下降法，則\(\mathbf{\theta}\)的迭代公式是這樣的：
\(\mathbf\theta= \mathbf\theta - \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
通過若干次迭代後，我們可以得到最終的\(\mathbf{\theta}\)的結果
如果採用最小二乘法，則\(\mathbf{\theta}\)的結果公式如下：
\( \mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \)
當然線性迴歸，還有其他的常用演算法，比如牛頓法和擬牛頓法，這裡不詳細描述。
3. 線性迴歸的推廣：多項式迴歸
回到我們開始的線性模型，\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 如果這裡不僅僅是x的一次方，比如增加二次方，那麼模型就變成了多項式迴歸。這裡寫一個只有兩個特徵的p次方多項式迴歸的模型：
\(h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_1^{2} + \theta_{4}x_2^{2} + \theta_{5}x_{1}x_2\)
我們令\(x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2\) ,這樣我們就得到了下式：
\(h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_3 + \theta_{4}x_4 + \theta_{5}x_5\)
可以發現，我們又重新回到了線性迴歸，這是一個五元線性迴歸，可以用線性迴歸的方法來完成演算法。對於每個二元樣本特徵\((x_1,x_2)\),我們得到一個五元樣本特徵\((1, x_1, x_2, x_{1}^2, x_{2}^2, x_{1}x_2)\)，通過這個改進的五元樣本特徵，我們重新把不是線性迴歸的函式變回線性迴歸。
4. 線性迴歸的推廣：廣義線性迴歸
在上一節的線性迴歸的推廣中，我們對樣本特徵端做了推廣，這裡我們對於特徵y做推廣。比如我們的輸出\(\mathbf{Y}\)不滿足和\(\mathbf{X}\)的線性關係，但是\(ln\mathbf{Y}\) 和\(\mathbf{X}\)滿足線性關係，模型函式如下：
\(ln\mathbf{Y} = \mathbf{X\theta}\)
這樣對與每個樣本的輸入y，我們用 lny去對應， 從而仍然可以用線性迴歸的演算法去處理這個問題。我們把 Iny一般化，假設這個函式是單調可微函式\(\mathbf{g}(.)\),則一般化的廣義線性迴歸形式是：
\(\mathbf{g}(\mathbf{Y}) = \mathbf{X\theta}\) 或者 \(\mathbf{Y} = \mathbf{g^{-1}}(\mathbf{X\theta})\)
這個函式\(\mathbf{g}(.)\)我們通常稱為聯絡函式。
5. 線性迴歸的正則化
為了防止模型的過擬合，我們在建立線性模型的時候經常需要加入正則化項。一般有L1正則化和L2正則化。
線性迴歸的L1正則化通常稱為Lasso迴歸，它和一般線性迴歸的區別是在損失函式上增加了一個L1正則化的項，L1正則化的項有一個常數係數\(\alpha\)來調節損失函式的均方差項和正則化項的權重，具體Lasso迴歸的損失函式表示式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha||\theta||_1\)
其中n為樣本個數，\(\alpha\)為常數係數，需要進行調優。\(||\theta||_1\)為L1範數。
Lasso迴歸可以使得一些特徵的係數變小，甚至還是一些絕對值較小的係數直接變為0。增強模型的泛化能力。
Lasso迴歸的求解辦法一般有座標軸下降法（coordinate descent）和最小角迴歸法（ Least Angle Regression），由於它們比較複雜，在我的這篇文章單獨講述： 執行緒迴歸的正則化-Lasso迴歸小結
線性迴歸的L2正則化通常稱為Ridge迴歸，它和一般線性迴歸的區別是在損失函式上增加了一個L2正則化的項，和Lasso迴歸的區別是Ridge迴歸的正則化項是L2範數，而Lasso迴歸的正則化項是L1範數。具體Ridge迴歸的損失函式表示式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\)
其中\(\alpha\)為常數係數，需要進行調優。\(||\theta||_2\)為L2範數。
Ridge迴歸在不拋棄任何一個特徵的情況下，縮小了迴歸係數，使得模型相對而言比較的穩定，但和Lasso迴歸比，這會使得模型的特徵留的特別多，模型解釋性差。
Ridge迴歸的求解比較簡單，一般用最小二乘法。這裡給出用最小二乘法的矩陣推導形式，和普通線性迴歸類似。
令\(J(\mathbf\theta)\)的導數為0，得到下式：
\(\mathbf{X^T(X\theta - Y) + \alpha\theta} = 0\)
整理即可得到最後的\(\theta\)的結果：
\(\mathbf{\theta = (X^TX + \alpha E)^{-1}X^TY}\)
其中E為單位矩陣。
除了上面這兩種常見的線性迴歸正則化，還有一些其他的線性迴歸正則化演算法，區別主要就在於正則化項的不同，和損失函式的優化方式不同，這裡就不累述了。
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