線性迴歸很簡單，用線性函式擬合資料，用 mean square error (mse) 計算損失（cost），然後用梯度下降法找到一組使 mse 最小的權重。
lasso 迴歸和嶺迴歸（ridge regression）其實就是在標準線性迴歸的基礎上分別加入 L1 和 L2 正則化（regularization）。
本文的重點是解釋為什麼 L1 正則化會比 L2 正則化讓線性迴歸的權重更加稀疏，即使得線性迴歸中很多權重為 0，而不是接近 0。或者說，為什麼 L1 正則化（lasso）可以進行 feature selection，而 L2 正則化（ridge）不行。
線性迴歸——最小二乘
線性迴歸（linear regression），就是用線性函式 \(f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b\) 去擬合一組資料 \(D = \{(\bm x_1, y_1), (\bm x_2, y_2), ..., (\bm x_n, y_n)\}\) 並使得損失 \(J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2\) 最小。線性迴歸的目標就是找到一組 \((\bm w^*, b^*)\)，使得損失 \(J\) 最小。
線性迴歸的擬合函式（或 hypothesis）為：
\[
f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b
\tag{1}
\]
cost function (mse) 為：
\[
\begin{split}
J &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2
\\ & = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2
\end{split}
\tag{2}
\]
Lasso迴歸和嶺迴歸
Lasso 迴歸和嶺迴歸（ridge regression）都是在標準線性迴歸的基礎上修改 cost function，即修改式（2），其它地方不變。
Lasso 的全稱為 least absolute shrinkage and selection operator，又譯最小絕對值收斂和選擇運算元、套索演算法。
Lasso 迴歸對式（2）加入 L1 正則化，其 cost function 如下：
\[
J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1
\tag{3}
\]
嶺迴歸對式（2）加入 L2 正則化，其 cost function 如下：
\[
J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_2^2
\tag{4}
\]
Lasso迴歸和嶺迴歸的同和異：
- 相同：
- 都可以用來解決標準線性迴歸的過擬合問題。
- 不同：
- lasso 可以用來做 feature selection，而 ridge 不行。或者說，lasso 更容易使得權重變為 0，而 ridge 更容易使得權重接近 0。
- 從貝葉斯角度看，lasso（L1 正則）等價於引數 \(\bm w\) 的先驗概率分佈滿足拉普拉斯分佈，而 ridge（L2 正則）等價於引數 \(\bm w\) 的先驗概率分佈滿足高斯分佈。具體參考部落格 從貝葉斯角度深入理解正則化 -- Zxdon 。
為什麼 lasso 更容易使部分權重變為 0 而 ridge 不行？
lasso 和 ridge regression 的目標都是 \(\min_{\bm w, b} J\)，式（3）和（4）都是拉格朗日形式，其中 \(\lambda\) 為拉格朗日乘子，我們也可以將 \(\min_{\bm w, b} J\) 寫成如下形式：
lasso regression:
\[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_1 \le t} \end{array} \tag{5} \]ridge regression:
\[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_2^2 \le t} \end{array} \tag{6} \]
式（5）和（6）可以理解為，在 \(\bm w\) 限制的取值範圍內，找一個點 \(\hat{\bm w}\) 使得 mean square error 最小，\(t\) 可以理解為正則化的力度，式（5）和（6）中的 \(t\) 越小，就意味著式（3）和（4）中 \(\lambda\) 越大，正則化的力度越大 。
以 \(\bm x \in R^2\) 為例，式（5）中對 \(\bm w\) 的限制空間是方形，而式（6）中對 \(\bm w\) 的限制空間是圓形。因為 lasso 對 \(\bm w\) 的限制空間是有稜角的，因此 \(\arg \min_{w, b} {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的解更容易切在 \(\bm w\) 的某一個維為 0 的點。如下圖所示：
Fig. 1 中的座標系表示 \(\bm w\) 的兩維，一圈又一圈的橢圓表示函式 \(J = {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的等高線，橢圓越往外，\(J\) 的值越大，\(\bm w^*\) 表示使得損失 \(J\) 取得全域性最優的值。使用 Gradient descent，也就是讓 \(\bm w\) 向著 \(\bm w^*\) 的位置走。如果沒有 L1 或者 L2 正則化約束，\(\bm w^*\) 是可以被取到的。但是，由於有了約束 \(\|w\|_1 \le t\) 或 \(\|w\|_2^2 \le t\)，\(\bm w\) 的取值只能限制在 Fig. 1 所示的灰色方形和圓形區域。當然調整 \(t\) 的值，我麼能夠擴大這兩個區域。
等高線從低到高第一次和 \(\bm w\) 的取值範圍相切的點，即是 lasso 和 ridge 迴歸想要找的權重 \(\hat{\bm w}\)。
lasso 限制了 \(\bm w\) 的取值範圍為有稜角的方形，而 ridge 限制了 \(\bm w\) 的取值範圍為圓形，等高線和方形區域的切點更有可能在座標軸上，而等高線和圓形區域的切點在座標軸上的概率很小。這就是為什麼 lasso（L1 正則化）更容易使得部分權重取 0，使權重變稀疏；而 ridge（L2 正則化）只能使權重接近 0，很少等於 0。
正是由於 lasso 容易使得部分權重取 0，所以可以用其做 feature selection，lasso 的名字就指出了它是一個 selection operator。權重為 0 的 feature 對迴歸問題沒有貢獻，直接去掉權重為 0 的 feature，模型的輸出值不變。
對於 ridge regression 進行 feature selection，你說它完全不可以吧也不是，weight 趨近於 0 的 feature 不要了不也可以，但是對模型的效果還是有損傷的，這個前提還得是 feature 進行了歸一化。
References
[1] Tibshirani, R. (1996). Regression Shrinkage and Selection Via the Lasso. Journal Of The Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 58(1), 267-288. doi: 10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x
[2] Lasso演算法 -- 維基百科
[3] 機器學習總結(一)：線性迴歸、嶺迴歸、Lasso迴歸 -- 她說巷尾的櫻花開了
[4] 從貝葉斯角度深入理解正則化 -- Zxdon