通常我們學習機器學習都是從線性迴歸模型開始的。線性迴歸模型形式簡單、易於建模，但是我們可以從中學習到機器學習的一些重要的基本思想。
迴歸一詞的由來：
這個術語是英國生物學家兼統計學家高爾頓在1886年左右提出來的。人們大概都注意到，子代的身高與其父母的身高有關。高爾頓以父母的平均身高X作為自變數，其一成年兒子的身高Y為因變數。他觀察了1074對父母及其一成年兒子的身高，將所得(X, Y)值標在直角座標系上，發現二者的關係近乎一條直線，總的趨勢是X增加時Y傾向於增加，這是意料中的結果.有意思的是,高爾頓對所得資料做了深入一層的考察，而發現了某種有趣的現象。
高爾頓算出這1074個X值的算術平均為68英寸(1英寸為2.54釐米)，而1074個Y值的算術平均為69英寸，子代身高平均增加了1英寸，這個趨勢現今人們也已注意到。以此為據，人們可能會這樣推想：如果父母平均身高為a英寸，則這些父母的子代平均身高應為a+1英寸，即比父代多1英寸。但高爾頓觀察的結果與此不符，他發現：當父母平均身高為72英寸時，他們的子代身高平均只有71英寸,不僅達不到預計的72+1=73英寸，反而比父母平均身高小了。反之,若父母平均身高為64英寸，則觀察資料顯示子代平均身高為67英寸，比預計的64+1=65英寸要多。
高爾頓對此的解釋是：大自然有一種約束機制，使人類身高分佈保持某種穩定形態而不作兩極分化。這就是種使身高“迴歸於中心“的作用。例如，父母身高平均為72英寸，比他們這一代平均身高68英寸高出許多，“迴歸於中心”的力量把他們子代的身高拉回來些：其平均身高只有71英寸，反比父母平均身高小，但仍超過子代全體平均69英寸。反之，當父母平均身高只有64英寸，遠低於他們這代的平均值68英寸時，“迴歸於中心”的力量將其子代身高拉回去一些，其平均值達到67英寸，增長了3英寸，但仍低於子代全體平均值69英寸。
正是通過這個例子，高爾頓引人了“迴歸”這個名詞。
線性迴歸的模型形如：
線性迴歸得出的模型不一定是一條直線，在只有一個變數的時候，模型是平面中的一條直線；有兩個變數的時候，模型是空間中的一個平面；有更多變數時，模型將是更高維的。
線性迴歸模型有很好的可解釋性，可以從權重W直接看出每個特徵對結果的影響程度。
線性迴歸適用於X和y之間存線上性關係的資料集，可以使用計算機輔助畫出散點圖來觀察是否存線上性關係。例如我們假設房屋價格和房屋面積之間存在某種線性關係，畫出散點圖如下圖所示。
看起來這些點分佈在一條直線附近，我們嘗試使用一條直線來擬合資料，使所有點到直線的距離之和最小。實際上，線性迴歸中通常使用殘差平方和，即點到直線的平行於y軸的距離而不用垂線距離，殘差平方和除以樣本量n就是均方誤差。均方誤差作為線性迴歸模型的代價函式(cost function)。使所有點到直線的距離之和最小，就是使均方誤差最小化，這個方法叫做最小二乘法。
代價函式：
其中，
下面求使J最小的W和b：
1.偏導數法
偏導數法是非常麻煩的，需要一個一個地計算w。為了方便，這裡以單變數線性迴歸為例。
2.正規方程法
正規方程使用矩陣運算，可以一次求出W向量。但是當變數(feature)個數大於資料個數時，會導致xTx不可逆，這時候就不能用此方法了。
使用正規方程法，如果希望得到的模型帶有偏置項b，就要先給資料集X增加全為1的一列，這樣才會把b包含在W中；如果不新增，那麼模型是強制過原點的。
3.梯度下降
這裡的代價函式J的海森矩陣H是半正定的，因此J一定有全域性最小值，所以也可以使用梯度下降法來求解。梯度下降法是一種迭代解法，不僅可以求解最小二乘問題，也適用於其它代價函式的問題。但是需要設定學習率α，α設定的過大或過小，都不能很好地訓練出模型，而且梯度下降法需要對資料集進行特徵縮放。一般會在資料集特別大的時候或者xTx不可逆的時候使用梯度下降法，後面再做介紹。
4.其他
還有一些方法就不一一列舉了。例如奇異值分解，QR分解，喬姆斯基分解等等。
計算出的模型如下圖。
再放一個兩個變數的情況的，如下圖。
