機器學習5-線性迴歸

清風紫雪發表於2021-01-20

機器學習

線性迴歸

什麼是線性迴歸

定義與公式

線性迴歸(Linear regression)是利用迴歸方程(函式)對一個或多個自變數(特徵值)和因變數(目標值)之間關係進行建模的一種分析方式。

特點：只有一個自變數的情況稱為單變數回歸，大於一個自變數情況的叫做多元迴歸

線性迴歸的特徵與目標的關係分析

線性迴歸當中的關係有兩種，一種是線性關係，另一種是非線性關係。在這裡我們只能畫一個平面更好去理解，所以都用單個特徵舉例子。

線性關係

如果在單特徵與目標值的關係呈直線關係，或者兩個特徵與目標值呈現平面的關係

非線性關係

線性迴歸的損失和優化原理

假設剛才的房子例子，真實的資料之間存在這樣的關係

真實關係：真實房子價格 = 0.02×中心區域的距離 + 0.04×城市一氧化氮濃度 + (-0.12×自住房平均房價) + 0.254×城鎮犯罪率

那麼現在呢，我們隨意指定一個關係（猜測）

隨機指定關係：預測房子價格 = 0.25×中心區域的距離 + 0.14×城市一氧化氮濃度 + 0.42×自住房平均房價 + 0.34×城鎮犯罪率

請問這樣的話，會發生什麼？真實結果與我們預測的結果之間是不是存在一定的誤差呢？類似這樣樣子

那麼存在這個誤差，我們將這個誤差給衡量出來

損失函式

總損失定義為：

y_i為第i個訓練樣本的真實值
h(x_i)為第i個訓練樣本特徵值組合預測函式
又稱最小二乘法

如何去減少這個損失，使我們預測的更加準確些？既然存在了這個損失，我們一直說機器學習有自動學習的功能，線上性迴歸這裡更是能夠體現。這裡可以通過一些優化方法去優化（其實是數學當中的求導功能）迴歸的總損失！！！

優化演算法

正規方程

理解：X為特徵值矩陣，y為目標值矩陣。直接求到最好的結果

缺點：當特徵過多過複雜時，求解速度太慢並且得不到結果

梯度下降

理解：α為學習速率，需要手動指定（超引數），α旁邊的整體表示方向

沿著這個函式下降的方向找，最後就能找到山谷的最低點，然後更新W值

使用：面對訓練資料規模十分龐大的任務，能夠找到較好的結果

我們通過兩個圖更好理解梯度下降的過程

所以有了梯度下降這樣一個優化演算法，迴歸就有了"自動學習"的能力

優化動態圖演示

線性迴歸API

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
- 通過正規方程優化
- fit_intercept：是否計算偏置
- LinearRegression.coef_：迴歸係數
- LinearRegression.intercept_：偏置
sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
- SGDRegressor類實現了隨機梯度下降學習，它支援不同的loss函式和正則化懲罰項來擬合線性迴歸模型。
- loss:損失型別
  - loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
- fit_intercept：是否計算偏置
- learning_rate : string, optional
  - 學習率填充
  - 'constant': eta = eta0
  - 'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
  - 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
    - power_t=0.25:存在父類當中
  - 對於一個常數值的學習率來說，可以使用learning_rate=’constant’ ，並使用eta0來指定學習率。
- SGDRegressor.coef_：迴歸係數
- SGDRegressor.intercept_：偏置

案例-波士頓房價

資料介紹

分析

迴歸當中的資料大小不一致，是否會導致結果影響較大。所以需要做標準化處理。同時我們對目標值也需要做標準化處理。

資料分割與標準化處理
迴歸預測
線性迴歸的演算法效果評估

迴歸效能評估

均方誤差(Mean Squared Error)MSE)評價機制：

y^i為預測值，¯y為真實值

sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

均方誤差迴歸損失
y_true:真實值
y_pred:預測值
return:浮點數結果

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def linear1():
    """
    正規方程的優化方法對波士頓房價預測
    """
    #獲取資料
    boston=load_boston()
    print("特徵個數：\n",boston.data.shape)
    #劃分資料集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
    #標準化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #預估器
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #得出模型
    print("正規方程-權重係數為：\n",estimator.coef_)
    print("正規方程-偏置為：\n",estimator.intercept_ )

    #模型評估
    y_predict=estimator.predict(x_test)
    print("預測房價：\n",y_predict)
    error=mean_squared_error(y_test,y_predict)
    print("正規方程-均方差誤差:\n",error)

    return None

def linear2():
    """
    梯度下降的優化方法對波士頓房價預測
    """
    #獲取資料
    boston=load_boston()
    #劃分資料集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
    #標準化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #預估器
    estimator=SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #得出模型
    print("梯度下降-權重係數為：\n",estimator.coef_)
    print("梯度下降-偏置為：\n",estimator.intercept_ )

    #模型評估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("預測房價：\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降-均方差誤差:\n", error)
    return None


if __name__ == '__main__':
    linear1()
    linear2()