線性迴歸是一種用於預測和建模的統計方法，旨在透過建立輸入變數（特徵）與輸出變數（目標）之間的線性關係來進行分析。下面我們透過一個簡單易懂的例子來說明線性迴歸的詳細過程。
例子：預測房價
假設你是一名房地產經紀人，想要根據房子的面積（平方英尺）來預測房子的價格（美元）。
1. 收集資料
首先，收集一些房子的面積和對應的價格資料，如下表所示：
| 面積（平方英尺） | 價格（美元） |
|---|---|
| 800 | 150,000 |
| 1000 | 180,000 |
| 1200 | 210,000 |
| 1500 | 250,000 |
| 2000 | 300,000 |
2. 資料視覺化
將資料繪製成散點圖，橫軸為面積，縱軸為價格。這樣可以直觀地看到隨著面積增加，價格是否呈現線性關係。
3. 建立線性迴歸模型
線性迴歸模型的形式是：
其中：
- yy 是目標變數（房價）。
- xx 是自變數（面積）。
- β0 是截距（當面積為0時的房價）。
- β1 是斜率（每增加一個平方英尺，房價增加的金額）。
4. 模型訓練
我們的目標是找到最佳的 β0β0 和 β1β1 值，使得實際房價與預測房價之間的差異最小。這通常透過最小二乘法實現，即最小化以下損失函式：
這裡，nn 是資料點的數量，yiyi 是實際房價，xixi 是對應的房屋面積。
假設經過計算，我們得到了以下引數：
這個模型表示為：
5. 預測
現在我們可以用這個模型來預測房價。例如，如果一個房子的面積是1,300平方英尺，我們可以代入公式進行預測：
計算得：
因此，預測這個房子的價格大約為212,500美元。
6. 模型評估
為了評估模型的效果，我們可以使用R²值，即決定係數，來衡量模型對資料的擬合程度。R²值介於0和1之間，越接近1表示模型越能解釋資料的變異。
7. 總結
線性迴歸是一種簡單且有效的預測工具，透過建立自變數與因變數之間的線性關係，能夠幫助我們進行預測。整個過程包括資料收集、模型建立、引數學習和預測等步驟。透過這個例子，我們可以看到線性迴歸如何在實用的場景中應用，幫助我們做出更好的決策。