預測玩家行為動態調整關卡難度——最小二乘問題求解

簡介

在遊戲開發中，遊戲的關卡難度一直是個重要的問題。如果某個關卡難度固定，那麼對於新手來說會有些困難，對於熟練的玩家來說又過於簡單。但我們如果把它看成最小二乘問題，根據玩家在之前關卡中的表現，預測玩家在之後一關中的表現，就能把此關卡調整到合適的難度。

資料和問題分析

假如在一個冒險遊戲中，玩家有一種屬性：戰鬥力。而不同關卡所有敵人都是相同的，只是數量不同。根據前四關玩家的表現：

• 第一關，玩家戰鬥力為2，幹掉的敵人數目為1
• 第二關，玩家戰鬥力為5，幹掉的敵人數目為2
• 第三關，玩家戰鬥力為7，幹掉的敵人數目為3
• 第四關，玩家戰鬥力為8，幹掉的敵人數目為3
  

於是繪製得到如下的圖：


我們想知道，在第五關時，假設玩家的戰鬥力為x，那麼玩家能夠幹掉敵人的數目y是多少。我們想要找出一條近似公式。

根據圖中的資料來看，發現它的變化趨勢趨近一條直線，因此我們想到選取x的一次表示式ax + b = y來表達。也就是說，我們想要找到適當的a，b使下面的等式都成立。

2a + b - 1 = 0

5a + b - 2 = 0

7a + b - 3 = 0

8a + b - 3 = 0

但找到這樣的a，b實際上是不可能的。於是我們想要找到的a，b變為了使上面各式的誤差的平方和最小，即找到a，b使



最小。這兒的誤差的平方就是二乘方，所以我們尋找的這條直線ax + b = y為最小二乘直線。，而解就是最小二乘解。

最小二乘直線求解

閱讀以下內容需要矩陣乘法，轉置矩陣以及逆矩陣的知識，這些知識可在任何一本有關線性代數的書上找到。

首先根據b + ax = y來構造矩陣。我們需要求解的方程組為

b + ax1  = y1

b + ax2  = y2

...

b + axn  = yn

我們把這個方程組寫為


我們需要求的就是β。對於本文開頭提到的冒險遊戲例子，就是


對於Xβ = y的最小二乘解，我們可以根據公式



來計算。


方程在座標軸上影象為：


我們可以證明，這樣找到的最小二乘直線，其誤差是最小的。當然最小二乘解不只這一種解法。

結語

於是，我們根據第五關玩家獲得的戰鬥力，就粗略計算出玩家根據自己的水平能幹掉的敵人，並讓系統生成相應數量的敵人。於是，不同水平的玩家就都可以在遊戲中自得其樂了。

由於上面的例子中，玩家屬性只有一個值，所以求最小二乘解比起其它方法可能稍顯麻煩。但當玩家的屬性逐漸變多，即未知量不止一個時，例如，玩家戰鬥力為x，生命值為y，幹掉的敵人數為z，那麼我們要求解的方程組就變為了

ax1  + by1   + c = z1

ax2  + by2   + c = z2

...

axn  + byn   + c = zn

此時，其它方法就不一定奏效了，而最小二乘解卻依然能夠快速求出。

作者：clatterrr
來源：露出你的犬牙
原地址：https://clatterrr.com/archives/1729