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梯度下降法、最速下降法、牛頓法等迭代求解方法,都是在無約束的條件下使用的,而在有約束的問題中,直接使用這些梯度方法會有問題,如更新後的值不滿足約束條件。
那麼問題來了,如何處理有約束的優化問題?大致可以分為以下兩種方式:
- 將有約束的問題轉化為無約束的問題,如拉格朗日乘子法和KKT條件;
- 對無約束問題下的求解演算法進行修改,使其能夠運用在有約束的問題中,如對梯度下降法進行投影,使得更新後的值都滿足約束條件。
將有約束問題轉化為無約束問題
拉格朗日法
僅含等式約束的優化問題
\[
\begin{array}{cl}{\text { minimize }} & {f(\boldsymbol{x})} \\ {\text { subject to }} & {\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}}\end{array}
\]
其中,\(x \in \mathbb{R}^n\),\(f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\),\(\boldsymbol{h} : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, \boldsymbol{h}=\left[h_{1}, \ldots, h_{m}\right]^{\top}, \text { and } m \leq n\)。
該問題的拉格朗日函式為:
\[
l(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})=f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{\lambda}^{\top} \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})
\]
FONC:對拉格朗日函式 \(l(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})\) 求偏導數,令偏導數都等於 0,求得的解必然滿足原問題的等式約束,可以從這些解裡面尋找是否有區域性最優解。這是求得區域性最優解的一階必要條件。
拉格朗日條件:(分別對 \(\bm x\) 和 \(\bm \lambda\) 求偏導)
\[
\begin{array}{l}{D_{x} l\left(\boldsymbol{x}^{*}, \boldsymbol{\lambda}^{*}\right)=\mathbf{0}^{\top}} \\ {D_{\lambda} l\left(\boldsymbol{x}^{*}, \boldsymbol{\lambda}^{*}\right)=\mathbf{0}^{\top}}\end{array}
\]
上式中,對 \(\lambda\) 求偏導數得到的就是等式約束。
拉格朗日條件是必要而非充分條件,即滿足上述方程的點 \(\boldsymbol x^{*}\) 不一定是極值點。
KKT條件
既含等式約束又含不等式約束的優化問題:
\[
\begin{array}{rl}{\operatorname{minimize}} & {f(\boldsymbol{x})} \\ {\text { subject to }} & {\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}} \\ {} & {\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) \leq \mathbf{0}}\end{array}
\]
其中,\(f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\),\(\boldsymbol{h} : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, m \leq n\),並且 \(\boldsymbol{g} : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{p}\)。
將該問題轉化為拉格朗日形式:
\[
l(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})=f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{\lambda}^{\top} \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}) +\boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})
\]
設 \(\bm x^{*}\) 是原問題的一個區域性極小點,則必然存在 \(\bm{\lambda}^{* \top} \in \mathbb{R}^m\),\(\bm{\mu}^{* \top} \in \mathbb{R}^p\),使得下列KKT條件成立:
- \(\bm {\mu}^{*} \geq 0\)
- \(D f\left(\boldsymbol{x}^{*}\right)+\boldsymbol{\lambda}^{* \top} D \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x}^{*}\right)+\boldsymbol{\mu}^{* \top} D \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}^{*}\right)=\mathbf{0}^{\top}\)
- \(\boldsymbol{\mu}^{* \top} \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}^{*}\right)=0\)
- \({\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}^*)=\mathbf{0}}\)
- \({\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}^*) \leq \mathbf{0}}\)
KKT條件中,\(\bm{\lambda}^{*}\) 是拉格朗日乘子向量,\(\bm{\mu}^{*}\) 是KKT乘子向量,\(\bm{\lambda}^{*}\) 和 \(\bm{\mu}^{*}\) 的元素分別稱為拉格朗日乘子和KKT乘子。
拉格朗日法更新方程
將含約束的優化問題轉化為拉格朗日形式後,我們可以用更新方程對該問題進行迭代求解。
這也是一種梯度演算法,但拉格朗日乘子、KKT 乘子的更新和自變數 \(\bm x\) 的更新不同,自變數 \(\bm x\) 繼續採用梯度下降法更新,而拉格朗日乘子、KKT 乘子的更新方程如下:
\[
\boldsymbol{\lambda}^{(k+1)}=\boldsymbol{\lambda}^{(k)}+\beta_{k} \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right), \\
\boldsymbol{\mu}^{(k+1)}=\left[\boldsymbol{\mu}^{(k)}+\beta_{k} \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right)\right]_{+}
\]
其中,\([\cdot]_{+}=\max \{\cdot, 0\}\)。
凸優化問題下的拉格朗日法
拉格朗日乘子法和KKT條件在一般的含約束條件的優化問題中,都只是一階必要條件,而在凸優化問題中,則變成了充分條件。
凸優化問題指的是目標函式是凸函式,約束集是凸集的優化問題。線性規劃、二次規劃(目標函式為二次型函式、約束方程為線性方程)都可以歸為凸優化問題。
凸優化問題中,區域性極小點就是全域性極小點。極小點的一階必要條件就是凸優化問題的充分條件。
罰函式法
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對梯度演算法進行修改,使其運用在有約束條件下
投影法
梯度下降法、最速下降法、牛頓法等優化演算法都有通用的迭代公式:
\[
\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha_{k} \boldsymbol{d}^{(k)}
\]
其中,\(\boldsymbol{d}^{(k)}\) 是關於梯度 \(\nabla f(\bm x^{(k)})\) 的函式。
考慮優化問題:
\[
\begin{array}{cl}{\operatorname{minimize}} & {f(\boldsymbol{x})} \\ {\text { subject to }} & {\boldsymbol{x} \in \Omega}\end{array}
\]
在上述有約束的優化問題中,\(\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha_{k} \boldsymbol{d}^{(k)}\) 可能不在約束集 \(\Omega\) 內,這是梯度下降等方法無法使用的原因。
而投影法做的是,如果 \(\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha_{k} \boldsymbol{d}^{(k)}\) 跑到約束集 \(\Omega\) 外面去了,那麼將它投影到約束集內離它最近的點;如果 \(\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha_{k} \boldsymbol{d}^{(k)} \in \Omega\),那麼正常更新即可。
投影法的更新公式為:
\[
\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{\Pi}\left[\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha_{k} \boldsymbol{d}^{(k)}\right]
\]
其中 \(\bm \Pi\) 為投影運算元,\(\bm \Pi[\bm x]\) 稱為 \(\bm x\) 到 \(\Omega\) 上的投影。
梯度下降法 to 投影梯度法
梯度下降法的迭代公式為:
\[
\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{x}^{(k)}-\alpha_{k} \nabla f\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right)
\]
將投影演算法引入梯度下降法,可得投影梯度法,迭代公式如下:
\[
\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{\Pi}\left[\boldsymbol{x}^{(k)}-\alpha_{k} \nabla f\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right)\right]
\]
正交投影運算元
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References
Edwin K. P. Chong, Stanislaw H. Zak-An Introduction to Optimization, 4th Edition
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