《機器學習_07_03_svm_核函式與非線性支援向量機》

一.簡介

前兩節分別實現了硬間隔支援向量機與軟間隔支援向量機，它們本質上都是線性分類器，只是軟間隔對“異常點”更加寬容，它們對形如如下的螺旋資料都沒法進行良好分類，因為沒法找到一個直線（超平面）能將其分隔開，必須使用曲線（超曲面）才能將其分隔，而核技巧便是處理這類問題的一種常用手段。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import copy
import random
import os
os.chdir('../')
from ml_models import utils
from ml_models.svm import *
from sklearn import datasets
%matplotlib inline

data, target = datasets.make_moons(noise=0.01)
plt.scatter(data[:,0],data[:,1],c=target)
plt.show()

二.核技巧

核技巧簡單來說分為兩步：
（1）將低維非線性可分資料\(x\)，通過一個非線性對映函式\(\phi\)，對映到一個新空間（高維度甚至是無限維空間）；
（2）對新空間的資料\(\phi(x)\)訓練線性分類器

比如如下的情況：

原始資料需要使用一個橢圓才能分隔開，但對原始資料施加一個非線性變換\(\phi:(x_1,x_2)->(x_1^2,x_2^2)\)變換後，在新空間中就可以線性分隔了

利用核技巧後的SVM

所以，如果對原始資料施加一個對映，此時軟間隔SVM的對偶問題為：

\[\min_{\alpha} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\phi(x_j)-\sum_{i=1}^N\alpha_i\\ s.t.\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0,\\ 0\leq\alpha_i\leq C,i=1,2,...,N \]

求解得最優\(\alpha_i^*\)後，SVM模型為：

\[f(x)=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i\phi(x_i)^T\phi(x)+b^*) \]

三.核函式

觀察一下上面公式，我們的目的其實是求解\(\phi(x_i)^T\phi(x_j)\)，有沒有一種函式讓\((x_i,x_j)\)只在原始空間做計算就達到\(\phi(x_i)^T\phi(x_j)\)的效果呢？有的，那就是核函式，即：

\[K(x_i,x_j)=\phi(x_i)^T\phi(x_j) \]

怎樣的函式才能做核函式？

要成為核函式必須滿足如下兩點條件：

（1）對稱性：\(K(x_i,x_j)=K(x_j,x_i)\)

（2）正定性：對任意的\(x_i,i=1,2,..,m\)，\(K(x,z)\)對應的Gramm矩陣：

\[K=[K(x_i,x_j)]_{m\times m} \]

是半正定矩陣，這裡的\(x_i\in\)可行域，並不要求一定要屬於樣本集

常見的核函式有哪些？

目前用的比較多的核函式有如下一些：

（1）多項式核函式：

\[K(x,z)=(x^Tz+1)^p \]

（2）高斯核函式：

\[K(x,z)=exp(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2}) \]

顯然，線性可分SVM中使用的是\(K(x,z)=x^Tz\)也是核函式

利用核函式後的SVM

利用核函式後，軟間隔SVM的對偶問題為：

\[\min_{\alpha} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j)-\sum_{i=1}^N\alpha_i\\ s.t.\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0,\\ 0\leq\alpha_i\leq C,i=1,2,...,N \]

求解得最優\(\alpha_i^*\)後，SVM模型為：

\[f(x)=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_iK(x,x_i)+b^*) \]

四.程式碼實現

程式碼實現很簡單，就在軟間隔SVM的基礎上將向量的內積計算\(x^Tz\)替換為\(K(x,z)\)即可，首先定義一些核函式：

"""
該部分放到ml_model.kernel_functions中
"""

def linear():
    """
    線性核函式
    :return:linear function
    """

    def _linear(x, y):
        return np.dot(x, y)

    return _linear


def poly(p=2):
    """
    多項式核函式
    :param p:
    :return: poly function
    """

    def _poly(x, y):
        return np.power(np.dot(x, y) + 1, p)

    return _poly


def rbf(sigma=0.1):
    """
    徑向基/高斯核函式
    :param sigma:
    :return:
    """

    def _rbf(x, y):
        np_x = np.asarray(x)
        if np_x.ndim <= 1:
            return np.exp((-1 * np.dot(x - y, x - y) / (2 * sigma * sigma)))
        else:
            return np.exp((-1 * np.multiply(x - y, x - y).sum(axis=1) / (2 * sigma * sigma)))

    return _rbf

from ml_models import kernel_functions


class SVC(object):
    def __init__(self, epochs=100, C=1.0, tol=1e-3, kernel=None, degree=3, gamma=0.1):
        """
        :param epochs: 迭代次數上限
        :param C: C越小，對於誤分類的懲罰越小
        :param tol:提前中止訓練時的誤差值上限，避免迭代太久
        :param kernel:核函式
        :param degree:kernel='poly'時生效
        :param gamma:kernel='rbf'時生效
        """
        self.b = None
        self.alpha = None
        self.E = None
        self.epochs = epochs
        self.C = C
        self.tol = tol
        # 定義核函式
        if kernel is None:
            self.kernel_function = kernel_functions.linear()
        elif kernel == 'poly':
            self.kernel_function = kernel_functions.poly(degree)
        elif kernel == 'rbf':
            self.kernel_function = kernel_functions.rbf(gamma)
        else:
            self.kernel_function = kernel_functions.linear()
        # 記錄支援向量
        self.support_vectors = None
        # 記錄支援向量的x
        self.support_vector_x = []
        # 記錄支援向量的y
        self.support_vector_y = []
        # 記錄支援向量的alpha
        self.support_vector_alpha = []

    def f(self, x):
        """
        :param x:
        :return: wx+b
        """
        x_np = np.asarray(x)
        if len(self.support_vector_x) == 0:
            if x_np.ndim <= 1:
                return 0
            else:
                return np.zeros((x_np.shape[:-1]))
        else:
            if x_np.ndim <= 1:
                wx = 0
            else:
                wx = np.zeros((x_np.shape[:-1]))
            for i in range(0, len(self.support_vector_x)):
                wx += self.kernel_function(x, self.support_vector_x[i]) * self.support_vector_alpha[i] * \
                      self.support_vector_y[i]
            return wx + self.b

    def init_params(self, X, y):
        """
        :param X: (n_samples,n_features)
        :param y: (n_samples,) y_i\in\{0,1\}
        :return:
        """
        n_samples, n_features = X.shape
        self.b = .0
        self.alpha = np.zeros(n_samples)
        self.E = np.zeros(n_samples)
        # 初始化E
        for i in range(0, n_samples):
            self.E[i] = self.f(X[i, :]) - y[i]

    def _select_j(self, best_i):
        """
        選擇j
        :param best_i:
        :return:
        """
        valid_j_list = [i for i in range(0, len(self.alpha)) if self.alpha[i] > 0 and i != best_i]
        best_j = -1
        # 優先選擇使得|E_i-E_j|最大的j
        if len(valid_j_list) > 0:
            max_e = 0
            for j in valid_j_list:
                current_e = np.abs(self.E[best_i] - self.E[j])
                if current_e > max_e:
                    best_j = j
                    max_e = current_e
        else:
            # 隨機選擇
            l = list(range(len(self.alpha)))
            seq = l[: best_i] + l[best_i + 1:]
            best_j = random.choice(seq)
        return best_j

    def _meet_kkt(self, x_i, y_i, alpha_i):
        """
        判斷是否滿足KKT條件

        :param w:
        :param b:
        :param x_i:
        :param y_i:
        :return:
        """
        if alpha_i < self.C:
            return y_i * self.f(x_i) >= 1 - self.tol
        else:
            return y_i * self.f(x_i) <= 1 + self.tol

    def fit(self, X, y2, show_train_process=False):
        """

        :param X:
        :param y2:
        :param show_train_process: 顯示訓練過程
        :return:
        """
        y = copy.deepcopy(y2)
        y[y == 0] = -1
        # 初始化引數
        self.init_params(X, y)
        for _ in range(0, self.epochs):
            if_all_match_kkt = True
            for i in range(0, len(self.alpha)):
                x_i = X[i, :]
                y_i = y[i]
                alpha_i_old = self.alpha[i]
                E_i_old = self.E[i]
                # 外層迴圈：選擇違反KKT條件的點i
                if not self._meet_kkt(x_i, y_i, alpha_i_old):
                    if_all_match_kkt = False
                    # 內層迴圈，選擇使|Ei-Ej|最大的點j
                    best_j = self._select_j(i)

                    alpha_j_old = self.alpha[best_j]
                    x_j = X[best_j, :]
                    y_j = y[best_j]
                    E_j_old = self.E[best_j]

                    # 進行更新
                    # 1.首先獲取無裁剪的最優alpha_2
                    eta = self.kernel_function(x_i, x_i) + self.kernel_function(x_j, x_j) - 2.0 * self.kernel_function(
                        x_i, x_j)
                    # 如果x_i和x_j很接近，則跳過
                    if eta < 1e-3:
                        continue
                    alpha_j_unc = alpha_j_old + y_j * (E_i_old - E_j_old) / eta
                    # 2.裁剪並得到new alpha_2
                    if y_i == y_j:
                        L = max(0., alpha_i_old + alpha_j_old - self.C)
                        H = min(self.C, alpha_i_old + alpha_j_old)
                    else:
                        L = max(0, alpha_j_old - alpha_i_old)
                        H = min(self.C, self.C + alpha_j_old - alpha_i_old)

                    if alpha_j_unc < L:
                        alpha_j_new = L
                    elif alpha_j_unc > H:
                        alpha_j_new = H
                    else:
                        alpha_j_new = alpha_j_unc

                    # 如果變化不夠大則跳過
                    if np.abs(alpha_j_new - alpha_j_old) < 1e-5:
                        continue
                    # 3.得到alpha_1_new
                    alpha_i_new = alpha_i_old + y_i * y_j * (alpha_j_old - alpha_j_new)
                    # 5.更新alpha_1,alpha_2
                    self.alpha[i] = alpha_i_new
                    self.alpha[best_j] = alpha_j_new
                    # 6.更新b
                    b_i_new = y_i - self.f(x_i) + self.b
                    b_j_new = y_j - self.f(x_j) + self.b
                    if self.C > alpha_i_new > 0:
                        self.b = b_i_new
                    elif self.C > alpha_j_new > 0:
                        self.b = b_j_new
                    else:
                        self.b = (b_i_new + b_j_new) / 2.0
                    # 7.更新E
                    for k in range(0, len(self.E)):
                        self.E[k] = self.f(X[k, :]) - y[k]

                    # 8.更新支援向量相關的資訊
                    self.support_vectors = np.where(self.alpha > 1e-3)[0]
                    self.support_vector_x = [X[i, :] for i in self.support_vectors]
                    self.support_vector_y = [y[i] for i in self.support_vectors]
                    self.support_vector_alpha = [self.alpha[i] for i in self.support_vectors]

                    # 顯示訓練過程
                    if show_train_process is True:
                        utils.plot_decision_function(X, y2, self, [i, best_j])
                        utils.plt.pause(0.1)
                        utils.plt.clf()

            # 如果所有的點都滿足KKT條件，則中止
            if if_all_match_kkt is True:
                break

        # 顯示最終結果
        if show_train_process is True:
            utils.plot_decision_function(X, y2, self, self.support_vectors)
            utils.plt.show()

    def get_params(self):
        """
        輸出原始的係數
        :return: w
        """

        return self.w, self.b

    def predict_proba(self, x):
        """
        :param x:ndarray格式資料: m x n
        :return: m x 1
        """
        return utils.sigmoid(self.f(x))

    def predict(self, x):
        """
        :param x:ndarray格式資料: m x n
        :return: m x 1
        """
        proba = self.predict_proba(x)
        return (proba >= 0.5).astype(int)

五.檢視效果

#檢視rbf的效果
svm = SVC(C=3.0, kernel='rbf',gamma=0.1, epochs=10, tol=0.2)
svm.fit(data, target)
utils.plot_decision_function(data, target, svm, svm.support_vectors)

#檢視poly的效果
svm = SVC(C=3.0, kernel='poly',degree=3, epochs=10, tol=0.2)
svm.fit(data, target)
utils.plot_decision_function(data, target, svm, svm.support_vectors)

六.問題討論

1.RBF函式中\(\sigma\)的不同取值對訓練的影響

為了探索該問題，我們對\(\sigma\)從小到大取一組數，在另外一個偽資料上檢視效果

from sklearn.datasets import make_classification
data, target = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, n_informative=1, n_redundant=0,
                                   n_repeated=0, n_clusters_per_class=1, class_sep=.5,random_state=21)

c1 = SVC(C=3.0, kernel='rbf',gamma=0.1, epochs=10, tol=0.01)
c1.fit(data, target)
c2 = SVC(C=3.0, kernel='rbf',gamma=0.5, epochs=10, tol=0.01)
c2.fit(data, target)
c3 = SVC(C=3.0, kernel='rbf',gamma=2, epochs=10, tol=0.01)
c3.fit(data, target)

plt.figure(figsize=(16,4))
plt.subplot(1,3,1)
utils.plot_decision_function(data,target,c1)
plt.subplot(1,3,2)
utils.plot_decision_function(data,target,c2)
plt.subplot(1,3,3)
utils.plot_decision_function(data,target,c3)

上面\(\sigma\)分別取值\([0.1,0.5,2]\)，通過結果可以簡單總結如下：

（1）如果\(\sigma\)取值越小，SVM越能抓住個別樣本的資訊，越容易過擬合；

（2）\(\sigma\)取值越大SVM的泛化能力越強

如何對該結果進行理解呢？可以通過樣本點在對映空間的距離來看，對任意兩個樣本點\(x,z\)，它們在對映空間中的距離的平方可以表示如下：

\[||\phi(x)-\phi(z)||^2=(\phi(x)-\phi(z))^T(\phi(x)-\phi(z))\\ =\phi(x)^T\phi(x)+\phi(z)^T\phi(z)-2\phi(x)^T\phi(z)\\ =K(x,x)+K(z,z)-2K(x,z)\\ =2-2\cdot exp(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2})（將K(x,z)替換為RBF函式） \]

所以：

（1）如果\(\sigma\rightarrow 0\)，那麼\(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2}\rightarrow -\infty\)，那麼\(exp(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2})\rightarrow 0\)，那麼\(||\phi(x)-\phi(z)||\rightarrow \sqrt 2\)

（2）如果\(\sigma\rightarrow \infty\)，那麼\(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2}\rightarrow 0\)，那麼\(exp(-\frac{\mid\mid x-z\mid\mid^2}{2\sigma^2})\rightarrow 1\)，那麼\(||\phi(x)-\phi(z)||\rightarrow 0\)

我們可以驗證上面的總結，若\(\sigma\)取值越小，樣本點在對映空間越分散，則在高維空間越容易線性可分，表現在低維空間則越容易過擬合；\(\sigma\)取值越大，樣本點在對映空間越集中，越不易線性可分，表現在低維空間也是不易線性可分

2.如何理解RBF可將資料對映到無限維空間

原諒自己，這部分公式不想碼了，具體內容參考大神的知乎帖子>>>，其中主要需要用到兩個等式變換：

（1）指數函式的泰勒級數：\(e^x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)，將RBF函式進行展開；

（2）利用多項式展開定理，將樣本\(x\)與\(z\)在原始空間的內積的\(n\)次方進行展開，假如\(x,z\in R^k\)，那麼：

\[(x^Tz)^n=(\sum_{i=1}^kx_iz_i)^n\\ =\sum_{l=1}^L\frac{n!}{n_{l_1}!n_{l_2}!\cdots n_{l_k}!}(x_1z_1)^{n_{l_1}}(x_2z_2)^{n_{l_2}}\cdots (x_kz_k)^{n_{l_k}} \]

這裡，\(\sum_{i=1}^kn_{l_i}=n\)，\(L=\frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}\)，進一步的，上面等式可以化簡為形如這樣的表示式：\(\Phi(x)^T\Phi(z)\)，\(\Phi(x)=[\Phi_1(x),\Phi_2(x),\cdots ,\Phi_L(x)]\)