一.簡介
支援向量機(svm)的想法與前面介紹的感知機模型類似，找一個超平面將正負樣本分開，但svm的想法要更深入了一步，它要求正負樣本中離超平面最近的點的距離要儘可能的大，所以svm模型建模可以分為兩個子問題：
（1）分的對：怎麼能讓超平面將正負樣本分的開；
（2）分的好：怎麼能讓距離超平面最近的點的距離儘可能的大。
對於第一個子問題：將樣本分開，與感知機模型一樣，我們也可以定義模型目標函式為：
所以對每對樣本\((x,y)\)，只要滿足\(y\cdot (w^Tx+b)>0\)，即表示模型將樣本正確分開了
對於第二個子問題：怎麼能讓離超平面最近的點的距離儘可能的大，對於這個問題，又可以拆解為兩個小問題：
（1）怎麼度量距離？
（2）距離超平面最近的點如何定義？
距離的度量很簡單，可以使用高中時代就知道的點到面的距離公式：
距離超平面最近的點，我們可以強制定義它為滿足\(|w^Tx+b|=1\)的點（注意，正負樣本都要滿足），為什麼可以這樣定義呢？我們可以反過來看，一個訓練好的模型可以滿足：（1）要使得正負樣本距離超平面最近的點的距離都儘可能大，那麼這個距離必然要相等，（2）引數\(w,b\)可以等比例的變化，而不會影響到模型自身，所以\(|w^Tx+b|=1\)自然也可以滿足，所以這時最近的點的距離可以表示為：
同時第一個子問題的條件要調整為\(y\cdot(w^Tx+b)\geq1\)，而\(\max d^*\)可以等價的表示為\(\min \frac{1}{2}w^Tw\)，所以svm模型的求解可以表述為如下優化問題：
二.原優化問題的對偶問題
對於上面優化問題的求解往往轉化為對其對偶問題的求解，首先，構造其拉格朗日函式：
這時，原優化問題（設為\(P\)）就等價於：
這裡簡單說明一下為什麼等價，首先看裡面\(\max\)那一層
對每個樣本都有約束條件\(1-y_i(w^Tx_i+b)\)，如果滿足約束，即\(\leq 0\)，必有\(\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))=0\)，如果不滿足，必有\(\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))\rightarrow 正無窮\)，所以，（1）如果所有樣本均滿足約束條件(即\(w,b\)在可行域內時)，原問題與上面的\(\min\max\)問題等價，（2）如果有任意一個樣本不滿足約束，這時上面\(\max\)問題的函式取值為正無窮，外層再對其求\(\min\)會約束其只能在可行域內求最小值，所以兩問題是等價的，簡單手繪演示一下（兩個問題的最優解都是紅點標記）：
假設對於問題\(P\)我們求得了最優解\(w^*,b^*,\alpha^*\)，則必有\(L(w^*,b^*,\alpha^*)=L(w^*,b^*,0)\)，所以有：
而最優解自然也滿足原始的約束條件，即：
由條件1，2，3，我們可以得出更強地約束條件：
證明也很簡單，由條件2,3可以知道，\(\forall i,\alpha_i^*(1-y_i({w^*}^Tx_i+b^*))\leq0\)都成立，要使條件1成立，則只能\(\alpha_i^*(1-y_i({w^*}^Tx_i+b^*))=0,i=1,2,...,N\)。
進一步的，可以推匯出這樣的關係：
所以條件4有個很形象的稱呼：互補鬆弛條件，而對於滿足關係1的樣本，也有個稱呼，叫支援向量
好的，我們繼續看svm的對偶問題（設為\(Q\)）的定義：
很幸運，svm的對偶問題\(\max\min\)與原問題\(\min\max\)等價（等價是指兩個問題的最優值、最優解\(w,b,\alpha\)均相等，具體證明需要用到原問題為凸以及slater條件，可以參看《凸優化》），先看裡層的\(\min_{w,b} L(w,b,\alpha)，\)由於\(L(w,b,\alpha)\)是關於\(w,b\)的凸函式，所以對偶問題的最優解必然滿足：\(L(w,b,\alpha)\)關於\(w,b\)的偏導為0，即：
消去\(w,b\)，可得對偶問題關於\(\alpha\)的表示式：
顯然，等價於如下優化問題（設為\(Q^*\)）：
該問題是關於\(\alpha\)的凸二次規劃(QP)問題，可以通過一些優化計算包(比如cvxopt)直接求解最優的\(\alpha^*\)，再由條件5，可知：
而關於\(b^*\)，我們可以巧妙求解：找一個樣本點\((x_i,y_i)\)，它滿足對應的\(\alpha_i^*>0\)（即支援向量），利用關係1，可知\(1-y_i({w^*}^Tx_i+b^*)=0\)，所以：\(b^*=y_i-{w^*}^Tx_i\)
這裡，條件2,3,4,5,6即是KKT條件，而且對於該優化問題，KKT條件還是最優解的充分條件（證明部分...可以參考《凸優化》），即滿足KKT條件的解就是最優解。
三.SMO求解對偶問題最優解
關於對偶問題(\(Q^*\))可以使用軟體包暴力求解，而且一定能得到最優解，但它的複雜度有點高：（1）變數數與樣本數相同，每個變數\(\alpha_i\)對應樣本\((x_i,y_i)\)；（2）約束條件數也與樣本數相同；而序列最小最優化化(sequential minimal optimization,SMO)演算法是求解SVM對偶問題的一種啟發式演算法，它的思路是：每次只選擇一個變數優化，而固定住其他變數，比如選擇\(\alpha_1\)進行優化，而固定住\(\alpha_i,i=2,3,...,N\)，但由於我們的問題中有一個約束：\(\sum_i^N\alpha_iy_i=0\)，需要另外選擇一個\(\alpha_2\)來配合\(\alpha_1\)做改變，當兩者中任何一個變數確定後，另外一個也就隨之確定了，比如確定\(\alpha_2\)後：
選擇兩個變數後，如果優化？
我們在選擇好兩個變數後，如何進行優化呢？比如選擇的\(\alpha_1,\alpha_2\)，由於剩餘的\(\alpha_3,\alpha_4,...,\alpha_N\)都視作常量，在\(Q^*\)中可以忽略，重新整理一下此時的\(Q^*\)：
這裡求解其實就很簡單了，將關係3帶入，消掉\(\alpha_1\)後可以發現，優化的目標函式其實是關於\(\alpha_2\)的二次函式（且開口朝上）：
這裡，\(\eta=-\sum_{i=3}^N\alpha_iy_i,\gamma=\sum_{i=3}^N\alpha_iy_ix_i\)
所以該問題無約束的最優解為：
接下來，我們對上面的表示式做一些優化，大家注意每次迭代時，\(\gamma,\eta\)都有大量的重複計算（每次僅修改了\(\alpha\)的兩個變數，剩餘部分其實無需重複計算），而且對於\(\alpha_1,\alpha_2\)的更新也沒有有效利用它上一階段的取值（記作\(\alpha_1^{old},\alpha_2^{old}\)）：
我們記：
記：
這裡\(g(x)\)表示模型對\(x\)的預測值，\(E_i\)表示預測值與真實值之差，於是我們有：
另外：
帶入公式1，可得：
這裡\(\beta=(x_1-x_2)^T(x_1-x_2)\)，到這一步，可以發現計算量大大降低，因為\(E_1^{old},E_2^{old}\)可先快取到記憶體中，但別忘了\(\alpha_2\)還有約束條件\(\alpha_2\geq0,y_1(\eta-\alpha_2y_2)\geq0\)，所以需要進一步對它的最優解分情況討論：
當\(y_1y_2=1\)時，
當\(y_1y_2=-1\)時，
到這兒，我們可以發現，SMO演算法可以極大的方便\(Q^*\)的求解，而且是以解析解方式，得到\(\alpha_2^{new}\)後，由於\(\alpha_1^{new}y_1+\alpha_2^{new}y_2=\alpha_1^{old}y_1+\alpha_2^{old}y_2\)，可得到\(\alpha_1^{new}\)的更新公式：
最後，得到\(w\)的更新公式：
對\(b\)和\(E\)的更新
而對於\(b\)的更新同樣藉助於\(\alpha_1,\alpha_2\)更新，在更新後，傾向於\(\alpha_1^{new}>0,\alpha_2^{new}>0\)，還記得前面的互補鬆弛條件吧（條件4），即對於\(\alpha_i>0\)的情況，必然要有\(1-y_i(w^Tx_i+b)=0\)成立，即\(w^Tx_i+b=y_i\)，所以對\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)有如下關係：
對關係4和關係5可以分別計算出\(b_1^{new}=y_1-{w^{new}}^Tx_1,b_2^{new}=y_2-{w^{new}}^Tx_2\)，對\(b\)的更新，可以取兩者的均值：
接下來，對於\(E_1,E_2\)的更新就很自然了：
那接下來還有一個問題，那就是\(\alpha_1,\alpha_2\)如何選擇的問題
如何選擇兩個優化變數？
這可以啟發式選擇，分為兩步：第一步是如何選擇\(\alpha_1\)，第二步是在選定\(\alpha_1\)時，如何選擇一個不錯的\(\alpha_2\)：
\(\alpha_1\)的選擇
選擇\(\alpha_1\)同感知機模型類似，選擇一個不滿足KKT條件的點\((x_i,y_i)\)，即不滿足如下兩種情況之一的點：
\(\alpha_2\)的選擇
對\(\alpha_2\)的選擇傾向於選擇使其變化儘可能大的點，由前面的更新公式可知是使\(\mid E_1^{old}-E_2^{old}\mid\)最大的點，所以選擇的兩個點\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)會更傾向於選擇異類的點
四.程式碼實現
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import copy
import random
import os
os.chdir('../')
from ml_models import utils
%matplotlib inline
#定義一個繪製決策邊界以及支援向量的函式（並放到utils中）
def plot_decision_function(X, y, clf, support_vectors=None):
plot_step = 0.02
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, plot_step),
np.arange(y_min, y_max, plot_step))
Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.4)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.8, c=y, edgecolor='k')
# 繪製支援向量
if support_vectors is not None:
plt.scatter(X[support_vectors, 0], X[support_vectors, 1], s=80, c='none', alpha=0.7, edgecolor='red')
"""
硬間隔支援向量機的smo實現,放到ml_models.svm模組
"""
class HardMarginSVM(object):
def __init__(self, epochs=100):
self.w = None
self.b = None
self.alpha = None
self.E = None
self.epochs = epochs
# 記錄支援向量
self.support_vectors = None
def init_params(self, X, y):
"""
:param X: (n_samples,n_features)
:param y: (n_samples,) y_i\in\{0,1\}
:return:
"""
n_samples, n_features = X.shape
self.w = np.zeros(n_features)
self.b = .0
self.alpha = np.zeros(n_samples)
self.E = np.zeros(n_samples)
# 初始化E
for i in range(0, n_samples):
self.E[i] = np.dot(self.w, X[i, :]) + self.b - y[i]
def _select_j(self, best_i):
"""
選擇j
:param best_i:
:return:
"""
valid_j_list = [i for i in range(0, len(self.alpha)) if self.alpha[i] > 0 and i != best_i]
best_j = -1
# 優先選擇使得|E_i-E_j|最大的j
if len(valid_j_list) > 0:
max_e = 0
for j in valid_j_list:
current_e = np.abs(self.E[best_i] - self.E[j])
if current_e > max_e:
best_j = j
max_e = current_e
else:
# 隨機選擇
l = list(range(len(self.alpha)))
seq = l[: best_i] + l[best_i + 1:]
best_j = random.choice(seq)
return best_j
def _meet_kkt(self, w, b, x_i, y_i, alpha_i):
"""
判斷是否滿足KKT條件
:param w:
:param b:
:param x_i:
:param y_i:
:return:
"""
if alpha_i < 1e-7:
return y_i * (np.dot(w, x_i) + b) >= 1
else:
return abs(y_i * (np.dot(w, x_i) + b) - 1) < 1e-7
def fit(self, X, y2, show_train_process=False):
"""
:param X:
:param y2:
:param show_train_process: 顯示訓練過程
:return:
"""
y = copy.deepcopy(y2)
y[y == 0] = -1
# 初始化引數
self.init_params(X, y)
for _ in range(0, self.epochs):
if_all_match_kkt = True
for i in range(0, len(self.alpha)):
x_i = X[i, :]
y_i = y[i]
alpha_i_old = self.alpha[i]
E_i_old = self.E[i]
# 外層迴圈：選擇違反KKT條件的點i
if not self._meet_kkt(self.w, self.b, x_i, y_i, alpha_i_old):
if_all_match_kkt = False
# 內層迴圈，選擇使|Ei-Ej|最大的點j
best_j = self._select_j(i)
alpha_j_old = self.alpha[best_j]
x_j = X[best_j, :]
y_j = y[best_j]
E_j_old = self.E[best_j]
# 進行更新
# 1.首先獲取無裁剪的最優alpha_2
eta = np.dot(x_i - x_j, x_i - x_j)
# 如果x_i和x_j很接近，則跳過
if eta < 1e-3:
continue
alpha_j_unc = alpha_j_old + y_j * (E_i_old - E_j_old) / eta
# 2.裁剪並得到new alpha_2
if y_i == y_j:
if alpha_j_unc < 0:
alpha_j_new = 0
elif 0 <= alpha_j_unc <= alpha_i_old + alpha_j_old:
alpha_j_new = alpha_j_unc
else:
alpha_j_new = alpha_i_old + alpha_j_old
else:
if alpha_j_unc < max(0, alpha_j_old - alpha_i_old):
alpha_j_new = max(0, alpha_j_old - alpha_i_old)
else:
alpha_j_new = alpha_j_unc
# 如果變化不夠大則跳過
if np.abs(alpha_j_new - alpha_j_old) < 1e-5:
continue
# 3.得到alpha_1_new
alpha_i_new = alpha_i_old + y_i * y_j * (alpha_j_old - alpha_j_new)
# 4.更新w
self.w = self.w + (alpha_i_new - alpha_i_old) * y_i * x_i + (alpha_j_new - alpha_j_old) * y_j * x_j
# 5.更新alpha_1,alpha_2
self.alpha[i] = alpha_i_new
self.alpha[best_j] = alpha_j_new
# 6.更新b
b_i_new = y_i - np.dot(self.w, x_i)
b_j_new = y_j - np.dot(self.w, x_j)
if alpha_i_new > 0:
self.b = b_i_new
elif alpha_j_new > 0:
self.b = b_j_new
else:
self.b = (b_i_new + b_j_new) / 2.0
# 7.更新E
for k in range(0, len(self.E)):
self.E[k] = np.dot(self.w, X[k, :]) + self.b - y[k]
# 顯示訓練過程
if show_train_process is True:
utils.plot_decision_function(X, y2, self, [i, best_j])
utils.plt.pause(0.1)
utils.plt.clf()
# 如果所有的點都滿足KKT條件，則中止
if if_all_match_kkt is True:
break
# 計算支援向量
self.support_vectors = np.where(self.alpha > 1e-3)[0]
# 利用所有的支援向量，更新b
self.b = np.mean([y[s] - np.dot(self.w, X[s, :]) for s in self.support_vectors.tolist()])
# 顯示最終結果
if show_train_process is True:
utils.plot_decision_function(X, y2, self, self.support_vectors)
utils.plt.show()
def get_params(self):
"""
輸出原始的係數
:return: w
"""
return self.w, self.b
def predict_proba(self, x):
"""
:param x:ndarray格式資料: m x n
:return: m x 1
"""
return utils.sigmoid(x.dot(self.w) + self.b)
def predict(self, x):
"""
:param x:ndarray格式資料: m x n
:return: m x 1
"""
proba = self.predict_proba(x)
return (proba >= 0.5).astype(int)
五.效果檢驗
from sklearn.datasets import make_classification
# 生成分類資料
data, target = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, n_informative=1, n_redundant=0,
n_repeated=0, n_clusters_per_class=1, class_sep=2.0)
plt.scatter(data[:,0],dat,1],c=target)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x19e700bb390>
#訓練
svm = HardMarginSVM()
svm.fit(data, target)
plot_decision_function(data, target, svm, svm.support_vectors)
#視覺化訓練過程,建議在pycharm中執行，notebook會生成很多張圖片
# svm = HardMarginSVM()
# svm.fit(data, target,show_train_process=True)
六.問題討論
1.非線可分的情況如何處理？
大家可以將上面的程式碼多執行幾次，可以發現如果有異常點等情況出現時（即線性不可分時），模型訓練的結果會很難看，後面小節將會對這種情況做處理，教模型如何去“容忍”這些不好看的點，或者巧妙地通過座標對映的方式將低維資料對映到高維空間進而可以線性可分
2.原問題本就是凸優化問題，為何還要轉對偶問題求解？
個人覺得更多是為了引入核技巧，因為對偶問題進行計算時，有關於兩個點內積的計算：\(x_i^Tx_j\)，這可以方便的用核函式替代\(\kappa(x_i,x_j)\)，便於處理非線性可分的情況