最小斯坦納樹初探

添雅發表於2019-02-22

問題描述

斯坦納樹問題是組合優化學科中的一個問題。將指定點集合中的所有點連通，且邊權總和最小的生成樹稱為最小斯坦納樹（Minimal Steiner Tree），其實最小生成樹是最小斯坦納樹的一種特殊情況。而斯坦納樹可以理解為使得指定集合中的點連通的樹，但不一定最小。（by Angel_Kitty）

解決方案

似乎沒有多項式演算法。在資料範圍允許時可使用dp來解。具體地，設(F[i,s])為根在點(i)，樹中包含的指定集合點的集合為(s​)時的最優解。兩種轉移
[
f[i,s]=min_{tsubset s} f[i,t]+f[i`,s-t]+e[i`,i]\
f[i,s]=min f[i`,s]+e[i`,i]
]

顯然第二種轉移需要迭代/最短路演算法。由於存在第二種轉移，假設轉移時能保證(f[*,t]​)已經被處理好，第一種轉移轉移可以進一步簡化為
[
f[i,s]=min_{tsubset s} f[i,t]+f[i,s-t]
]
這樣做就大功告成了。

練習題

bzoj2595 [WC2008]遊覽計劃

最小化點權和，大致相同，設(F[i,j,s])為根在點((i,j))，指定集合狀態為(s)的最小點權和，轉移有
[
f[i,j,s]=min f[i`,j`,s]+c[i,j]\
f[i,j,s]=min_{tsubset s} f[i,j,t]+f[i`,j`s-t]=min_{tsubset s} f[i,j,t]+f[i,j,s-t]-c[i,j]
]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=11;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int dx[]={0,0,-1,1};
const int dy[]={-1,1,0,0};

int n,m,K,st[N][N];
int vis[N][N],a[N][N],f[N][N][1<<N],pre[N][N][1<<N];
std::queue<int> Q;
bool inq[N*N];

int ecd(int i,int j) {return i*10+j;}
int ecd(int i,int j,int s) {return i*100000+j*10000+s;}
void dcd(int c,int&i,int&j) {i=c/10,j=c%10;}
void dcd(int c,int&i,int&j,int&s) {i=c/100000,j=(c/10000)%10,s=c%10000;}

bool upd(int i,int j,int s,int p,int q,int t,int w) {
    if(f[i][j][s]>w) {
        f[i][j][s]=w;
        pre[i][j][s]=ecd(p,q,t);
        return 1;
    }
    return 0;
}
void spfa(int s) {
    int x,y,i,j,tmp;
    while(!Q.empty()) {
        int x=Q.front();
        Q.pop();
        inq[x]=0;
        dcd(x,i,j);
        for(int k=0; k<4; ++k) {
            x=i+dx[k],y=j+dy[k];
            if(x<0||x>=n||y<0||y>=m) continue;
            if(upd(x,y,s,i,j,s,f[i][j][s]+a[x][y])&&!inq[tmp=ecd(x,y)]) {
                Q.push(tmp),inq[tmp]=1;
            }
        }
    }
}
void dfs(int i,int j,int s) {
    int p,q,t;
    vis[i][j]=1;
    if(!pre[i][j][s]) return;
    dcd(pre[i][j][s],p,q,t);
    dfs(p,q,t);
    if(p==i&&q==j) dfs(p,q,s^t);
}

int main() {
    memset(f,inf,sizeof f);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0; i<n; ++i)
    for(int j=0; j<m; ++j) {
        scanf("%d",&a[i][j]);
        if(!a[i][j]) {
            st[i][j]=1<<(K++);
            f[i][j][st[i][j]]=0;
        }
    }
    int fll=1<<K,tmp;
    for(int s=1; s<fll; ++s) {
        for(int i=0; i<n; ++i) 
        for(int j=0; j<m; ++j) {
            for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) 
                upd(i,j,s, i,j,t, f[i][j][t]+f[i][j][s^t]-a[i][j]);
            if(f[i][j][s]!=inf) {
                Q.push(tmp=ecd(i,j));
                inq[tmp]=1;
            }
        }
        spfa(s);
    }
    for(int i=0; i<n; ++i) 
    for(int j=0; j<m; ++j) if(!a[i][j]) {
        printf("%d
",f[i][j][fll-1]);
        dfs(i,j,fll-1);
        for(int p=0; p<n; ++p,puts("")) 
        for(int q=0; q<m; ++q) {
            if(!a[p][q]) putchar(`x`);
            else if(vis[p][q]) putchar(`o`);
            else putchar(`_`);
        }
        return 0;
    } 
}

bzoj4006 [JLOI2015]管道連線

需要處理出同種頻道的最小斯坦納樹，在進行dp組合得到最優解。設(f[i,s])為根在(i)包含關鍵點集為(s)的最小邊權和，(dp[s])表示包含頻道集為(s)的最小邊權和，(ki[i])表示頻道(i)包含的關鍵點集，轉移有
[
dp[s]=min_{i=1}^n f[i,cup_{kin s}ki[k]]\
dp[s]=min_{tsubset s} dp[t]+dp[s-t]
]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1003;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,p;
int head[N],to[N<<3],len[N<<3],last[N<<3];
int ki[N],f[N][1<<10],dp[1<<10];

void add_edge(int x,int y,int w) {
    static int cnt=1;
    to[cnt]=y;
    len[cnt]=w;
    last[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt++;
}
queue<int> Q;
bool inq[N];
void spfa(int s) {
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        inq[i]=1; Q.push(i);
    }
    while(!Q.empty()) {
        int x=Q.front(); Q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
            if(f[to[i]][s]>f[x][s]+len[i]) {
                f[to[i]][s]=f[x][s]+len[i];
                if(!inq[to[i]]) {
                    inq[to[i]]=1;
                    Q.push(to[i]);
                }
            }
        }
    }
}


int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1,x,y,w; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add_edge(x,y,w);
        add_edge(y,x,w); 
    } 
    memset(f,inf,sizeof f);
    for(int i=1,x,y; i<=p; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ki[x]|=1<<(i-1);
        f[y][1<<(i-1)]=0;
    }
    for(int s=1; s<(1<<p); ++s) {
        for(int i=1; i<=n; ++i) 
        for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) {
            f[i][s]=min(f[i][s],f[i][t]+f[i][s^t]);
        }
        spfa(s);
    }
    memset(dp,inf,sizeof dp);
    dp[0]=0;
    for(int s=1; s<(1<<p); ++s) {
        int k=0;
        for(int i=0; i<p; ++i) if((s>>i)&1) k|=ki[i+1];
        for(int i=0; i<n; ++i) dp[s]=min(dp[s],f[i][k]);
        for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) dp[s]=min(dp[s]s,dp[t]+dp[s^t]);
    }
    printf("%d
",dp[(1<<p)-1]);
    return 0;
}

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