話在開頭
在上一篇文章細水長flow之NICE：流模型的基本概念與實現中，我們介紹了 flow 模型中的一個開山之作：NICE 模型。從 NICE 模型中，我們能知道 flow 模型的基本概念和基本思想，最後筆者還給出了 Keras 中的 NICE 實現。
本文我們來關心 NICE 的升級版：RealNVP 和 Glow。
Glow 模型的取樣演示：
精巧的flow
不得不說，flow 模型是一個在設計上非常精巧的模型。總的來看，flow 就是想辦法得到一個 encoder 將輸入 x 編碼為隱變數 z，並且使得 z 服從標準正態分佈。得益於 flow 模型的精巧設計，這個 encoder 是可逆的，從而我們可以立馬從 encoder 寫出相應的 decoder（生成器）出來，因此，只要 encoder 訓練完成，我們就能同時得到 decoder，完成生成模型的構建。
為了完成這個構思，不僅僅要使得模型可逆，還要使得對應的雅可比行列式容易計算，為此，NICE 提出了加性耦合層，通過多個加性耦合層的堆疊，使得模型既具有強大的擬合能力，又具有單位雅可比行列式。就這樣，一種不同於 VAE 和 GAN 的生成模型——flow 模型就這樣出來了，它通過巧妙的構造，讓我們能直接去擬合概率分佈本身。
待探索的空間
NICE 提供了 flow 模型這樣一種新的思路，並完成了簡單的實驗，但它同時也留下了更多的未知的空間。flow 模型構思巧妙，相比之下，NICE 的實驗則顯得過於粗糙：只是簡單地堆疊了全連線層，並沒有給出諸如卷積層的用法，論文雖然做了多個實驗，但事實上真正成功的實驗只有 MNIST，說服力不夠。
因此，flow 模型還需要進一步挖掘，才能在生成模型領域更加出眾。這些擴充，由它的“繼承者”RealNVP 和 Glow 模型完成了，可以說，它們的工作使得 flow 模型大放異彩，成為生成模型領域的佼佼者。
RealNVP
這部分我們來介紹 RealNVP 模型，它是 NICE 的改進，來自論文 Density estimation using Real NVP [1]。它一般化了耦合層，併成功地在耦合模型中引入了卷積層，使得可以更好地處理影像問題。更進一步地，它還提出了多尺度層的設計，這能夠降低計算量，通過還提供了強大的正則效果，使得生成質量得到提升。至此，flow 模型的一般框架開始形成。
後面的 Glow 模型基本上沿用了 RealNVP 的框架，只是對部分內容進行了修改（比如引入了可逆 1x1 卷積來代替排序層）。不過值得一提的是，Glow 簡化了 RealNVP 的結構，表明 RealNVP 中某些比較複雜的設計是沒有必要的。因此本文在介紹 RealNVP 和 Glow 時，並沒有嚴格區分它們，而只是突出它們的主要貢獻。
仿射耦合層
其實 NICE 和 RealNVP 的第一作者都是 Laurent Dinh，他是 Bengio 的博士生，他對 flow 模型的追求和完善十分讓我欽佩。在第一篇 NICE 中，他提出了加性耦合層，事實上也提到了乘性耦合層，只不過沒有用上；而在 RealNVP 中，加性和乘性耦合層結合在一起，成為一個一般的“仿射耦合層”。
這裡的 s,t 都是 x1 的向量函式，形式上第二個式子對應於 x2 的一個仿射變換，因此稱為“仿射耦合層”。
仿射耦合的雅可比矩陣依然是一個三角陣，但對角線不全為 1，用分塊矩陣表示為：
很明顯，它的行列式就是 s 各個元素之積。為了保證可逆性，一般我們約束 s 各個元素均大於零，所以一般情況下，我們都是直接用神經網路建模輸出 log s，然後取指數形式。
注：從仿射層大概就可以知道 RealNVP 的名稱來源了，它的全稱為“real-valued non-volume preserving”，強行翻譯為“實值非體積保持”。相對於加性耦合層的行列式為 1，RealNVP 的雅可比行列式不再恆等於 1，而我們知道行列式的幾何意義就是體積（請參考《新理解矩陣5：體積=行列式》[2]），所以行列式等於 1 就意味著體積沒有變化，而仿射耦合層的行列式不等於 1 就意味著體積有所變化，所謂“非體積保持”。
隨機打亂維度
在 NICE 中，作者通過交錯的方式來混合資訊流（這也理論等價於直接反轉原來的向量），如下圖（對應地，這裡已經換為本文的仿射耦合層圖示）：
▲ NICE通過交叉耦合，充分混合資訊
而 RealNVP 發現，通過隨機的方式將向量打亂，可以使資訊混合得更加充分，最終的 loss 可以更低，如圖：
▲ RealNVP通過隨機打亂每一步輸出的整個向量，使得資訊混合得更充分均勻
這裡的隨機打亂，就是指將每一步 flow 輸出的兩個向量 h1,h2 拼接成一個向量 h，然後將這個向量重新隨機排序。
引入卷積層
RealNVP 中給出了在 flow 模型中合理使用卷積神經網路的方案，這使得我們可以更好地處理影像問題，並且減少引數量，還可以更充分發揮模型的並行效能。
注意，不是任意情況下套用卷積都是合理的，用卷積的前提是輸入（在空間維度）具有區域性相關性。影像本身是具有區域性相關性的，因為相鄰之間的畫素是有一定關聯的，因此一般的影像模型都可以使用卷積。
但是我們注意 flow 中的兩個操作：
1. 將輸入分割為兩部分 x1,x2，然後輸入到耦合層中，而模型 s,t 事實上只對 x1 進行處理；
2. 特徵輸入耦合層之前，要隨機打亂原來特徵的各個維度（相當於亂序的特徵）。這兩個操作都會破壞區域性相關性，比如分割操作有可能割裂原來相鄰的畫素，隨機打亂也可能將原來相鄰的兩個畫素分割得很遠。
所以，如果還要堅持使用卷積，就要想辦法保留這種空間的區域性相關性。我們知道，一幅影像有三個軸：高度（height）、寬度（width）、通道（channel），前兩個屬於空間軸，顯然具有區域性相關性，因此能“搞”的就只有“通道”軸。
為此，RealNVP 約定分割和打亂操作，都只對“通道”軸執行。也就是說，沿著通道將輸入分割為 x1,x2 後，x1 還是具有區域性相關性的，還有沿著通道按著同一方式打亂整體後，空間部分的相關性依然得到保留，因此在模型 s,t 中就可以使用卷積了。
▲ 沿著通道軸進行分割，不損失空間上的區域性相關性
▲ 沿著空間軸交錯（棋盤）分割，也是一種保持空間區域性相關性的方案
注：在 RealNVP 中，將輸入分割為兩部分的操作稱為 mask，因為這等價於用 0/1 來區別標註原始輸入。除了前面說的通過通道軸對半分的 mask 外，RealNVP 事實上還引入了一種空間軸上的交錯 mask，如上圖的右邊，這種 mask 稱為棋盤式 mask（格式像國際象棋的棋盤）。
這種特殊的分割也保留了空間區域性相關性，原論文中是兩種 mask 方式交替使用的，但這種棋盤式 mask 相對複雜，也沒有什麼特別明顯的提升，所以在 Glow 中已經被拋棄。
不過想想就會發現有問題。一般的影像通道軸就只有三維，像 MNIST 這種灰度圖還只有一維，怎麼分割成兩半？又怎麼隨機打亂？為了解決這個問題，RealNVP 引入了稱為 squeeze 的操作，來讓通道軸具有更高的維度。
其思想很簡單：直接 reshape，但 reshape 時區域性地進行。具體來說，假設原來影像為 h×w×c 大小，前兩個軸是空間維度，然後沿著空間維度分為一個個 2×2×c 的塊（這個 2 可以自定義），然後將每個塊直接 reshape 為 1×1×4c，也就是說最後變成了 h/2×w/2×4c。
▲ squeeze操作圖示，其中2x2的小區域可以換為自定義大小的區域
有了 squeeze 這個操作，我們就可以增加通道軸的維數，但依然保留區域性相關性，從而我們前面說的所有事情都可以進行下去了，所以 squeeze 成為 flow 模型在影像應用中的必備操作。
多尺度結構
除了成功地引入卷積層外，RealNVP 的另一重要進展是加入了多尺度結構。跟卷積層一樣，這也是一個既減少了模型複雜度、又提升了結果的策略。
▲ RealNVP中的多尺度結構圖示
多尺度結構其實並不複雜，如圖所示。原始輸入經過第一步 flow 運算（“flow 運算”指的是多個仿射耦合層的複合）後，輸出跟輸入的大小一樣，這時候將輸入對半分開兩半 z1,z2（自然也是沿著通道軸），其中 z1 直接輸出，而只將 z2 送入到下一步 flow 運算，後面的依此類推。比如圖中的特例，最終的輸出由 z1,z3,z5 組成，總大小跟輸入一樣。
多尺度結構有點“分形”的味道，原論文說它啟發於 VGG。每一步的多尺度操作直接將資料尺寸減少到原來的一半，顯然是非常可觀的。但有一個很重要的細節，在 RealNVP 和 Glow 的論文中都沒有提到，我是看了原始碼才明白的，那就是最終的輸出 [z1,z3,z5] 的先驗分佈應該怎麼取？按照 flow 模型的通用假設，直接設為一個標準正態分佈？
事實上，作為不同位置的多尺度輸出，z1,z3,z5 的地位是不對等的，而如果直接設一個總體的標準正態分佈，那就是強行將它們對等起來，這是不合理的。最好的方案，應該是寫出條件概率公式：
由於 z3,z5 是由 z2 完全決定的，z5 也是由 z4 完全決定的，因此條件部分可以改為：
RealNVP 和 Glow 假設右端三個概率分佈都是正態分佈，其中 p(z1|z2) 的均值方差由 z2 算出來（可以直接通過卷積運算，這有點像 VAE），p(z3|z4) 的均值方差由 z4 算出來，p(z5) 的均值方差直接學習出來。
顯然這樣的假設會比簡單認為它們都是標準正態分佈要有效得多。我們還可以換一種表述方法：上述的先驗假設相當於做了如下的變數代換：
然後認為 [ẑ1,ẑ3,ẑ5] 服從標準正態分佈。同 NICE 的尺度變換層一樣，這三個變換都會導致一個非 1 的雅可比行列式，也就是要往 loss 中加入形如的這一項。
乍看之下多尺度結構就是為了降低運算量，但並不是那麼簡單。由於 flow 模型的可逆性，輸入輸出維度一樣，事實上這會存在非常嚴重的維度浪費問題，這往往要求我們需要用足夠複雜的網路去緩解這個維度浪費。
多尺度結構相當於拋棄了 p(z) 是標準正態分佈的直接假設，而採用了一個組合式的條件分佈，這樣儘管輸入輸出的總維度依然一樣，但是不同層次的輸出地位已經不對等了，模型可以通過控制每個條件分佈的方差來抑制維度浪費問題（極端情況下，方差為 0，那麼高斯分佈坍縮為狄拉克分佈，維度就降低 1），條件分佈相比於獨立分佈具有更大的靈活性。而如果單純從 loss 的角度看，多尺度結構為模型提供了一個強有力的正則項（相當於多層影像分類模型中的多條直連邊）。
Glow
整體來看，Glow 模型在 RealNVP 的基礎上引入了 1x1 可逆卷積來代替前面說的打亂通道軸的操作，並且對 RealNVP 的原始模型做了簡化和規範，使得它更易於理解和使用。
■ 論文 | https://www.paperweekly.site/papers/2101
■ 部落格 | https://blog.openai.com/glow/
■ 原始碼 | https://github.com/openai/glow
可逆1x1卷積
這部分介紹 Glow 的主要改進工作：可逆 1x1 卷積。
置換矩陣
可逆 1x1 卷積源於我們對置換操作的一般化。我們知道，在 flow 模型中，一步很重要的操作就是將各個維度重新排列，NICE 是簡單反轉，而 RealNVP 則是隨機打亂。不管是哪一種，都對應著向量的置換操作。
事實上，對向量的置換操作，可以用矩陣乘法來描述，比如原來向量是 [1,2,3,4]，分別交換第一、二和第三、四兩個數，得到 [2,1,4,3]，這個操作可以用矩陣乘法來描述：
其中右端第一項是“由單位矩陣不斷交換兩行或兩列最終得到的矩陣”稱為置換矩陣。
一般化置換
既然這樣，那很自然的想法就是：為什麼不將置換矩陣換成一般的可訓練的引數矩陣呢？所謂 1x1 可逆卷積，就是這個想法的結果。
注意，我們一開始提出 flow 模型的思路時就已經明確指出，flow 模型中的變換要滿足兩個條件：一是可逆，二是雅可比行列式容易計算。如果直接寫出變換：
那麼它就只是一個普通的沒有 bias 的全連線層，並不能保證滿足這兩個條件。為此，我們要做一些準備工作。首先，我們讓 h 和 x 的維度一樣，也就是說 W 是一個方陣，這是最基本的設定；其次，由於這只是一個線性變換，因此它的雅可比矩陣就是，所以它的行列式就是 det W，因此我們需要把 −log |det W| 這一項加入到 loss 中；最後，初始化時為了保證 W 的可逆性，一般使用“隨機正交矩陣”初始化。
利用LU分解
以上做法只是一個很基本的解決方案，我們知道，算矩陣的行列式運算量特別大，還容易溢位。而 Glow 給出了一個非常巧妙的解決方案：LU 分解的逆運用。具體來說，是因為任意矩陣都可以分解為：
其中 P 是一個置換矩陣，也就是前面說的 shuffle 的等價矩陣；L 是一個下三角陣，對角線元素全為 1；U 是一個上三角陣。這種形式的分解稱為 LU 分解。如果知道這種矩陣的表達形式，顯然求雅可比行列式是很容易的，它等於：
也就是 U 的對角線元素的絕對值對數之和。既然任意矩陣都可以分解成 (7) 式，我們何不直接設W的形式為 (7) 式？這樣一來矩陣乘法計算量並沒有明顯提升，但求行列式的計算量大大降低，而且計算起來也更為容易。
這就是 Glow 中給出的技巧：先隨機生成一個正交矩陣，然後做 LU 分解，得到 P,L,U，固定 P，也固定 U 的對角線的正負號，然後約束 L 為對角線全 1 的下三角陣，U 為上三角陣，優化訓練 L,U 的其餘引數。
結果分析
上面的描述只是基於全連線的。如果用到影像中，那麼就要在每個通道向量上施行同樣的運算，這等價於 1x1 的卷積，這就是所謂的可逆 1x1 卷積的來源。事實上我覺得這個名字起得不大好，它本質上就是共享權重的、可逆的全連線層，單說 1x1 卷積，就把它侷限在影像中了，不夠一般化。
▲ 三種不同的打亂方案最終的loss曲線比較（來自OpenAI部落格）
Glow 的論文做了對比實驗，表明相比於直接反轉，shuffle 能達到更低的 loss，而相比 shuffle，可逆 1x1 卷積能達到更低的 loss。我自己的實驗也表明了這一點。
不過要指出的是：可逆 1x1 卷積雖然能降低 loss，但是有一些要注意的問題。第一，loss 的降低不代表生成質量的提高，比如 A 模型用了 shuffle，訓練 200 個 epoch 訓練到 loss=-50000，B 模型用了可逆卷積，訓練 150 個 epoch 就訓練到 loss=-55000，那麼通常來說在當前情況下 B 模型的效果還不如 A（假設兩者都還沒有達到最優）。事實上可逆 1x1 卷積只能保證大家都訓練到最優的情況下，B 模型會更優。第二，在我自己的簡單實驗中貌似發現，用可逆 1x1 卷積達到飽和所需要的 epoch 數，要遠多於簡單用 shuffle 的 epoch 數。
Actnorm
RealNVP 中用到了 BN 層，而 Glow 中提出了名為 Actnorm 的層來取代 BN。不過，所謂 Actnorm 層事實上只不過是 NICE 中的尺度變換層的一般化，也就是 (5) 式提到的縮放平移變換：
其中 μ,σ 都是訓練引數。Glow 在論文中提出的創新點是用初始的 batch 的均值和方差去初始化 μ,σ 這兩個引數，但事實上所提供的原始碼並沒有做到這一點，純粹是零初始化。
所以，這一點是需要批評的，純粹將舊概念換了個新名字罷了。當然，批評的是 OpenAI 在 Glow 中亂造新概念，而不是這個層的效果。縮放平移的加入，確實有助於更好地訓練模型。而且，由於 Actnorm 的存在，仿射耦合層的尺度變換已經顯得不那麼重要了。
我們看到，相比於加性耦合層，仿射耦合層多了一個尺度變換層，從而計算量翻了一倍。但事實上相比加性耦合，仿射耦合效果的提升並不高（尤其是加入了 Actnorm 後），所以要訓練大型的模型，為了節省資源，一般都只用加性耦合，比如 Glow 訓練 256x256 的高清人臉生成模型，就只用到了加性耦合。
原始碼分析
事實上 Glow 已經沒有什麼可以特別解讀的了。但是 Glow 整體的模型比較規範，我們可以逐步分解一下 Glow 的模型結構，為我們自己搭建類似的模型提供參考。這部分內容源自我對 Glow 原始碼的閱讀，主要以示意圖的方式給出。
模型總圖
整體來看，Glow 模型並不複雜，就是在輸入加入一定量的噪聲，然後輸入到一個 encoder 中，最終用“輸出的平均平方和”作為損失函式（可以將模型中產生的對數雅可比行列式視為正則項），注意，loss 不是“平方平均誤差（MSE）”，而僅僅是輸出的平方和，也就是不用減去輸入。
▲ Glow模型總圖
encoder
下面對總圖中的 encoder 進行分解，大概流程為：
▲ encoder流程圖
encoder 由 L 個模組組成，這些模組在原始碼中被命名為 revnet，每個模組的作用是對輸入進行運算，然後將輸出對半分為兩份，一部分傳入下一個模組，一部分直接輸出，這就是前面說的多尺度結構。Glow 原始碼中預設 L=3，但對於 256x256 的人臉生成則用到 L=6。
revnet
現在來進一步拆解 encoder，其中 revnet 部分為：
▲ revnet結構圖
其實它就是前面所說的單步 flow 運算，在輸入之前進行尺度變換，然後打亂軸，並且進行分割，接著輸入到耦合層中。如此訓練 K 次，這裡的 K 稱為“深度”，Glow 中預設是 32。其中 actnorm 和仿射耦合層會帶來非 1 的雅可比行列式，也就是會改動 loss，在圖上也已註明。
split2d
Glow 中的定義的 split2d 不是簡單的分割，而是混合了對分割後的變換運算，也就是前面所提到的多尺度輸出的先驗分佈選擇。
▲ glow中的split2d並不是簡單的分割
對比 (5) 和 (9)，我們可以發現條件先驗分佈與 Actnorm 的區別僅僅是縮放平移量的來源，Actnorm 的縮放平移引數是直接優化而來，而先驗分佈這裡的縮放平移量是由另一部分通過某個模型計算而來，事實上我們可以認為這種一種條件式 Actnorm（Cond Actnorm）。
f
最後是 Glow 中的耦合層的模型（放射耦合層的 s,t），原始碼中直接命名為 f，它用了三層 relu 卷積：
▲ glow中耦合層的變換模型
其中最後一層使用零初始化，這樣就使得初始狀態下輸入輸出一樣，即初始狀態為一個恆等變換，這有利於訓練深層網路。
復現
可以看到 RealNVP 其實已經做好了大部分工作，而 Glow 在 RealNVP 的基礎上進行去蕪存菁，並加入了自己的一些小修改（1x1 可逆卷積）和規範。但不管怎麼樣，這是一個值得研究的模型。
Keras版本
官方開源的 Glow 是 TensorFlow 版的。這麼有意思的模型，怎麼能少得了 Keras 版呢，先奉上筆者實現的 Keras 版：
https://github.com/bojone/flow/blob/master/glow.py
已經 pull request 到 Keras 官方的 examples，希望過幾天能在 Keras 的 github 上看到它。
由於某些函式的限制，目前只支援 TensorFlow 後端，我的測試環境包括：Keras 2.1.5 +tensorflow 1.2 和 Keras 2.2.0 + tensorflow 1.8，均在 Python 2.7 下測試。
效果測試
剛開始讀到 Glow 時，我感到很興奮，彷彿像發現了新大陸一樣。經過一番學習後，我發現......Glow 確實是一塊新大陸，然而卻非我等平民能輕鬆登上的。
讓我們來看 Glow 的 github 上的兩個 issue：
How many epochs will be take when training celeba? [3]
The samples we show in the paper are after about 4000 training epochs...
Anyone reproduced the celeba-HQ results in the paper？ [4]
Yes we trained with 40 GPU's for about a week, but samples did start to look good after a couple of days...
我們看到 256x256 的高清人臉影像生成，需要訓練 4000 個 epoch，用 40 個 GPU 訓練了一週，簡單理解就是用 1 個 GPU 訓練一年...（卒）
好吧，我還是放棄這可望而不可及的任務吧，我們還是簡簡單單玩個 64x64，不，還是 32x32 的人臉生成，做個 demo 出來就是了。
▲ 用glow模型生成的32x32人臉，150個epoch
▲ 用glow模型生成的cifar10，700個epoch
感覺還可以吧，我用的是 L=3,K=6，每個 epoch 要 70s 左右（GTX1070）。跑了 150 個 epoch，這裡的 epoch 跟通常概念的 epoch 不一樣，我這裡的一個 epoch 就是隨機抽取的 3.2 萬個樣本，如果每次跑完完整的 epoch，那麼用時更久。同樣的模型，順手也跑了一下 cifar10，跑了 700 個 epoch，不過效果不大好。就是遠看似乎還可以，近看啥都不是的那種。
當然，其實 cifar10 雖然不大（32x32），但事實上生成 cifar10 可比生成人臉難多了（不管是哪種生成模型），我們就跳過吧。話說 64x64 的人臉，我也作死地嘗試了一下，這時候用了 L=3,K=10，跑了 200 個 epoch（這時候每個 epoch 要 6 分鐘了）。結果..……
▲ 用glow模型生成的64x64人臉，230個epoch
人臉是人臉了，不過看上去更像妖魔臉。看來網路深度和 epoch 數都還不夠，我也跑不下去了。
艱難結束
好了，對 RealNVP 和 Glow 的介紹終於可以結束了。本著對 Glow 的興趣，利用前後兩篇文章把三個 flow 模型都捋了一遍，希望對讀者有幫助。
總體來看，諸如 Glow 的 flow 模型整體確實很優美，但運算量還是偏大了，訓練時間過長，不像一般的 GAN 那麼友好。個人認為 flow 模型要在當前以 GAN 為主的生成模型領域中站穩腳步，還有比較長的路子要走，可謂任重而道遠呀。
參考文獻
[1]. Dinh, L., Sohl-Dickstein, J., and Bengio, S. (2016). Density estimation using Real NVP. arXiv preprint arXiv:1605.08803.
[2]. https://kexue.fm/archives/2208
[3]. https://github.com/openai/glow/issues/14#issuecomment-406650950
[4]. https://github.com/openai/glow/issues/37#issuecomment-410019221