P9437 『XYGOI round1』一棵樹
trick+換根dp
對於此類 「將數字順次寫下」 計算貢獻的題目,通常按位考慮,並且考慮每個數作為 開頭/結尾 時的貢獻,方便計算。
因此,我們在這題中考慮每個數作為結尾時的貢獻。那麼這題就轉化成:計算以 \(u\) 為根並且以 \(a_u\) 為結尾的貢獻。明顯的換根 dp。
首先考慮處理出各個子樹中的貢獻,設 \(f_u\) 表示在 \(u\) 子樹中,以 \(a_u\) 為結尾的貢獻。顯然有:
\(f_u=a_u+\sum (f_v\times b_u+sz_v\times a_u)\)
其中 \(a_u\) 為題中所給,\(b_u\) 表示 \(a_u\) 的位數,\(sz_u\) 為子樹大小。
考慮如何換根,也就是計算 \(fa_v\) 子樹對 \(v\) 的貢獻。這裡將 \(fa_v\) 寫為 \(u\),有:
\(f_v=f_v+(f_u-f_v\times b_u-sz_v\times a_u)\times b_u+(sz_1-sz_v)\times a_u\)
答案 \(ans=\sum f_u\),複雜度 \(O(n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
typedef long long i64;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 1e6 + 10, mod = 998244353;
int n;
i64 ans, c[N], f[N], sz[N], b[N], a[N];
std::vector<int> e[N];
void dfs1(int u, int fa) {
sz[u] = 1, f[u] = a[u];
for(auto v : e[u]) {
if(v == fa) continue;
dfs1(v, u);
f[u] = (f[u] + f[v] * b[u] % mod + sz[v] * a[u] % mod) % mod;
sz[u] += sz[v];
}
}
void dfs2(int u, int fa) {
ans = (ans + f[u]) % mod;
for(auto v : e[u]) {
if(v == fa) continue;
f[v] = (f[v] + (f[u] - f[v] * b[u] % mod + mod - sz[v] * a[u] % mod + mod) * b[v] % mod + (sz[1] - sz[v]) * a[v] % mod) % mod;
dfs2(v, u);
}
}
void Solve() {
std::cin >> n;
c[1] = 10;
for(int i = 2; i <= 9; i++) c[i] = c[i - 1] * 10;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
std::cin >> a[i];
if(!a[i]) b[i] = 10;
else {
int cnt = 0;
i64 now = a[i];
while(now) {
now /= 10;
cnt++;
}
b[i] = c[cnt];
}
}
for(int i = 2; i <= n; i++) {
int x;
std::cin >> x;
e[x].pb(i), e[i].pb(x);
}
dfs1(1, 0);
dfs2(1, 0);
std::cout << ans << "\n";
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
Solve();
return 0;
}