演算法學習之二進位制的妙用

SHISME發表於2019-02-07
演算法

有一個笑話，世界上有10種人，一種是看得懂二進位制的，一種是看不懂的。 如果你看懂了這個笑話，這篇文章就是適合你讀的了

Single Number

leetcode 上有一道這樣的題，Single Number，題目是要你要找到陣列中唯一隻存在一個的數字，其他數字都出現兩次。這道題目非常的簡單，我們可以用 hash 表來記錄所有數字的次數，然後找到次數為1的那個數字。如果用二進位制來解決這道題效率會快很多。

二進位制的解法

二進位制中有一個操作符叫做位異或，他的作用是兩個位數字相同則為0，不同則為1，即 1^1=0，0^0=0，1^0=1，0^1=1；

通過這個運算子的特點我們可以知道，任何一個數對自己位異或操作，得到的結果都是 00000000，00000000對任意數字位異或得到的都是那個數字。並且 A ^ B ^ C = C ^ B ^A，這個操作符是滿足交換律的。下面看一下 js 的簡單解法：


/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var singleNumber = function(nums) {
    return nums.reduce((res, cur) => res ^ cur);
};

複製程式碼

毒藥問題

有 8 個一模一樣的瓶子，其中有 7 瓶是普通的水，有一瓶是毒藥。任何喝下毒藥的生物都會在一星期之後死亡。現在，你只有 3 只小白鼠和一星期的時間，如何檢驗出哪個瓶子裡有毒藥？

解決思路

我們用二進位制給每瓶水進行編號，編號分別為，000,001,010,011,100,101,110,111,分別對應1-8的瓶子，然後讓第一隻老鼠喝第一位為1的，第二隻老鼠喝第二位為1的，第三隻老鼠喝第三位為1的，假設第四瓶水有毒，即011有毒

  • 第一隻老鼠喝了 100，101，110，111，結果：沒死，記作0
  • 第二隻老鼠喝了 010，011，110，111，結果：死了，記作1
  • 第三隻老鼠喝了 001，011，101，111，結果：死了，記作1

根據死亡結果，剛好是第四瓶水011，這只是一個巧合嗎，恐怕不是的，我們可以用數學的思維來證明一下這個問題

證明

每隻老鼠喝了毒藥只會出現兩種情況死或者不死，一隻老鼠可以驗證兩瓶藥有沒毒，即2^1,兩隻老鼠可以驗證2^2瓶藥，三隻老鼠可以驗證2^3瓶藥，那麼要怎麼去驗藥呢

  • 我們讓每隻老鼠喝某一位為1的的所有藥，如果那隻老鼠死了則說明毒藥的某一位編號為1，比方說第一隻老鼠喝了所有第一位為1的毒藥死了，則說明毒藥的第一位編號為1，如果沒死，則說明毒藥的那一位編號為0
  • 這裡如果三隻老鼠都沒死，則說明毒藥的三位編號都為0，剛好是三隻老鼠都每沒喝的第一瓶。

擴充問題

有 1000 個一模一樣的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒藥。任何喝下毒藥的生物都會在一星期之後死亡。現在，你只有 10 只小白鼠和一星期的時間，如何檢驗出哪個瓶子裡有毒藥？

根據上面的問題，我們能夠知道 2 ^ 10 = 1024 > 1000,也是通過對每個瓶子進行二進位制編號即可檢驗出哪個瓶子有毒。

問題升級

現在，有意思的問題來了：如果你有兩個星期的時間，為了從 1000 個瓶子中找出毒藥，你最少需要幾隻老鼠？注意，在第一輪實驗中死掉的老鼠，就無法繼續參與第二次實驗了。

擴充問題思路

我們要達到的目的是用盡可能少的老鼠，在兩週之內找到結果，所以我們必須要進行兩輪的實驗，那麼每隻老鼠可能就會出現三種情況，第一輪死掉，第二輪死掉，第二輪活著，上面一題老鼠會出現兩種情況用的是二進位制，那麼這一題很明顯我們需要用到三進位制。3 ^ 6 = 729, 3 ^ 7 = 2187, 很明我們至少是需要7只老鼠。

如何喂藥

  • 還是和前面一樣，第一輪的時候，我們讓每隻老鼠喝某一位為編號為2的藥，如果某隻老鼠死了，則說明毒藥的那一位編號為2，如果老鼠全死了，我們連第二輪都不用了，直接可以確定毒藥的編號為2222222。
  • 第二輪如果還剩多少隻老鼠，則說明毒藥有多少位的編號為0或者1，我們剩k只老鼠，k位二進位制數需要確認，因為那幾位數已經排除了是2的可能性。則由回到了上一題，我們繼續用上一輪的喂法即可。

稱重問題

27個小球。其中一個比其他小球都要重一點。給你一個天平，最多稱3次，找出這個特殊的小球。

思路

這題也是需要用到三進位制的思路來解決的，我們每次稱可能出現三種狀態左邊重，右邊重，一樣重，3 ^ 3 剛好27，所以我們是可以在3次內找到這個小球。

如何稱

先給每個球編號000,001,002,010,...,222

  • 第一次稱第一位為2的和第一位為1的所有小球，他們同樣都是9個，哪邊重則說明，較重的小球的第1為幾，如果一樣重則說名第一位為0
  • 第二次稱第二位為2的和第二位為1的所有小球，他們也同樣都是9個，哪邊重則說明，較重的小球的第2位為幾，如果一樣重則說名第二位為0
  • 第三次稱第三位為2的和第三位為1的所有小球，他們也同樣都是9個，哪邊重則說明，較重的小球的第3位為幾，如果一樣重則說名第三位為0

經過三次稱重我們就可以找到較重的哪一個小球了。

總結

面對這種問題，其實解決思路都大通小異，都是需要找到問題關鍵狀態，通過關鍵狀態的數量我們可以知道需要用到多少進位制來解決問題。然後根據題目制定方案，來確定每一位的狀態碼最終得到結果。

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