資料結構之二叉樹的定義和性質

通過上一節講解，我們知道通用樹結構是採用雙親孩子表示法模型建立的。每個結點都有一個指向其雙親的指標，每個結點都有

若干個指向其孩子的指標。如下圖：

整體實現起來比較複雜，今天我們來講一下另一種樹結構模型：孩子兄弟表示法模型。每個結點都有一個指向其第一個孩子的指

針，每個結點都有一個指向其第一個右兄弟的指標。如下圖：

孩子兄弟表示法:每個結點包含一個資料指標和兩個結點指標。

1.    資料指標：指向儲存於樹中的資料；

2.     孩子結點指標：指向第一個孩子；

3.     兄弟結點指標：指向第一個右兄弟。

如下圖：

孩子兄弟表示法的特點：

1.能夠表示任意的樹形結構；

2. 每個結點中有且僅有三個指標域，資料指標，孩子結點指標，兄弟結點指標；

3. 每個結點的結構簡單，只有孩子結點指標和兄弟結點指標構成了“樹杈”。

孩子兄弟表示法的本質是將通用樹轉化為二叉樹，二叉樹是最多隻有兩個孩子的樹。

二叉樹的定義：二叉樹是由 n ( n ≥0 ) 個結點組成的有限集合，該集合或者為空，或者是由一個根結點加上兩棵分別稱為左子樹

和右子樹的、互不相交的二叉樹組成。

二叉樹有如下不同的5中狀態：空二叉樹、僅有根結點的二叉樹、右子樹為空的二叉樹、左子樹為空的二叉樹以及左、右子樹均

非空的二叉樹。如下圖：

當然二叉樹還有比較特殊的二叉樹，比如滿二叉樹和完全二叉樹。

滿二叉樹 (FullBinary Tree)：如果二叉樹中所有分支結點的度數都為2，且葉子結點都在同一層次上（即一顆深度為k且有2^k-1個

結點的二叉樹），則稱這類二叉樹為滿二叉樹。滿二叉樹的特點就是每一層的結點數都是最大節點數。

完全二叉樹(Complete Binary Tree)：如果一棵具有n個結點的高度為k的二叉樹，它的每一個結點都與高度為k的滿二叉樹中編

號為1—n的結點一一對應，則稱這棵二叉樹為完全二叉樹。（從上到下從左到右編號）。

完全二叉樹的葉結點僅出現在最下面兩層：

1.最下層的葉結點一定出現在左邊；

2.倒數第二層的葉結點一定出現在右邊。

完全二叉樹中度為1的結點只有左孩子，同樣結點數的二叉樹，完全二叉樹的高度最小。

上面我們總結了二叉樹的定義，接下來我們說一說二叉樹的性質。

二叉樹的深層性質：

性質1： 在二叉樹的第 i層最多有 2^i-1個結點(i ≥ 1)。

• 第一層最多有 2^1-1=1個結點。

• 第二層最多有 2^2-1=2個結點。

• 第三層最多有 2^3-1=4個結點。

性質2: 深度為 k的二叉樹最多有 2^k-1個結點(k ≥ 0)。

• 如果有一層，最多有 1=2¹-1=1個結點。

• 如果有兩層，最多有 1+2=2²-1=3 個結點。

• 如果有三層，最多有 1+2+4=2³-1=7 個結點。

性質3:對任何一棵二叉樹，如果其葉結點有n₀個，度為2的非葉結點有 n₂個，則有 n₀＝n₂＋1。

證明：假設二叉樹中度1的結點有 n₁個且總結點為n個，則：n=n₀+n₁+n₂。

假設二叉樹中連線父結點與子結點間的邊為 e條，則：e=n₁+2n₂ = n – 1。

所以：n₀＝n₂＋1。

性質4：具有 n個結點的完全二叉樹的高度為