C語言實現牛頓迭代法解方程

Engineer-Bruce_Yang發表於2016-02-09
C語言

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
一、確定迭代變數
在可以用迭代演算法解決的問題中，我們可以確定至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
二、建立迭代關係式
所謂迭代關係式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制
在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程式必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的迴圈來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。
接下來，我介紹一種迭代演算法的典型案例----牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法

  牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法，又稱牛頓迭代法，也稱牛頓切線法：先任意設定一個與真實的根接近的值x0作為第一次近似根，由x0求出f(x0),過(x0，f(x0))點做f(x)的切線，交x軸於x1，把它作為第二次近似根，再由x1求出f(x1),過(x1，f(x1))點做f(x)的切線，交x軸於x2，……如此繼續下去，直到足夠接近（比如|x- x0|<1e-6時）真正的根x*為止。

而f '(x0)=f(x0)/( x1- x0)  

所以 x1= x0- f(x0)/ f ' (x0)。

我們來看一副從網上找到的圖:


接下來，我們來看一個例子:

我們還是直接上程式碼:

例子:用牛頓迭代法求下列方程在值等於2.0附近的根：2x3-4x2+3x-6=0。

#include <stdio.h>
#include <math.h> 
int main(void)
{
 	float x,x0,f,f1; 
 	x = 2.0;
	do{ 
	       x0=x;
	       f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
	       f1=6*x0*x0-8*x0+3;
	       x=x0-f/f1; 
	//函式fabs：求浮點數x的絕對值
    //說明：計算|x|, 當x不為負時返回 x，否則返回 -x      
	}while(fabs(x-x0)>=1e-5);
	  printf ("%f\n",x);
 	return 0 ;
 }
執行結果:

當x=1.5時，方程2x3-4x2+3x-6=0。附近的根為2.000000 。



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