第一章 整除

1 整數的除法

$ab\in Z,b\ne 0,$如果存在整數c，使a=bc,則稱b整除a，記為b|a。

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$b\ne 0,a|b \Longrightarrow |a|\le|b|$

$a|b,b|a\Longrightarrow b=\pm a$

$a|b,b|c\Longrightarrow a|c$

$a|b,a|c \Longleftrightarrow 對任意t,s\in Z ,a|tb+sc$

$m\ne0,a|b\Longleftrightarrow ma|mb $

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[x] 為不超過x的最大整數

{x}為實數x的小數部分

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a，b為兩個整數，$b\ne0$，則存在唯一的一對整數q和r，使得$a=qb+r,0\le r<b$

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d為a，b的最大公約數，記為(a,b),或gcd(a,b)

(a,b)=1,則a，b互素，只有公約數$\pm1$.

m為a，b的最小公倍數，記為[a,b],或lcm(a,b).

(a,b)=(b,a)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)

[a,b]=[b,a]=[-a,b]=[a,-b]=[-a,-b]

若a|b,則(a,b)=|a|,[a,b]=|b|

對任意整數x，有(a,b)=(a,b+ax)

對任意整數d|a,有[a,b]=[a,b,d]

a|c,b|c$\Longleftrightarrow$[a,b]|cd |a,d|b$\Longleftrightarrow$d|(a,b)

(a,b,c)=((a,b),c) [a,b,c]=[[a,b],c]

m為正整數，則

m(a,b)=(ma,mb) m[a,b]=[ma,mb]

(m,a)=1$\Longrightarrow$(m,ab)=(m,b)

(m,a)=1,m|ab$\Longrightarrow$m|b

(a,b)=d$\Longrightarrow (\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$

[a,b]=$\frac{|ab|}{(a,b)}$

a,b為不全為0的整數$\Longrightarrow(a,b)=min\{s:s=ax+by,x,y\in Z,s>0\}$

(a,b)=1時，任意整數n可以表示為n=ax+by,x,y均為整數。

$(a,b)=1,\Longrightarrow\{s:s=ax+by,x,y\in Z\}=Z$

2 算數基本定理

算數基本定理又稱唯一分解定理，是整除理論的中心內容之一，在初等數論中很重要。

正整數分為三類：1，素數，合數。

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p是素數，$a_1,a_2,...,a_n$是整數，其中$n\ge2,b\in Z$,如果$p|\prod\limits_{k=1}^na_k$,則$\exists i,1\le i\le n,使得p|a_i$.

算數基本定理：整數n>1,那必有$n=\prod\limits_{i=1}^mp_i,p_i(1\le i\le m)$為素數；若不計因子次序，這個分解式是唯一的。

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$a=p_1^{\alpha_1}...p_s^{\alpha_s},\qquad b=p_1^{_\beta1}...p_s^{\beta_s}$,

a|b$\Longleftrightarrow \alpha_i\le\beta_i(1\le i\le s)$

$(a,b)=p_1^{e_1}...p_s^{e_s},e_i=min\{\alpha_i,\beta_i\}$

$[a,b]=p_1^{d_1}...p_s^{d_s},d_i=max\{\alpha_i,\beta_i\}$

(a,b)[a,b]=ab

3 素數

素數有無窮個。

$\pi(x)$表示不超過x的素數的個數，x為任意正實數。

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\pi(x)}{x}=0$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln_x}}=1$

整數$n\ge 2,$若n是合數，必有素數$p|n,p\le \sqrt{n}$.

Fermat數 $F_n=2^{2^n}+1$,目前還不知道Fermat素數是否有無窮個。

形如$M_p=2^p-1$的素數稱為Mersenne素數。

n%4==3，n稱為Blum素數，兩個Blum素數的乘積稱為Blum整數。

4 Euclid演算法

歐幾里得演算法又叫輾轉相除法。

int t;
while(b)
{
	t = a%b;
	a = b;
	b = t;
}
return a;