最小二乘法擬合非線性函式及其Matlab/Excel 實現

horsetail發表於2015-08-19
函式MatlabExcel

1、最小二乘原理

　　Matlab直接實現最小二乘法的示例：　　

close
x = 1:1:100;
a = -1.5;
b = -10;
y = a*log(x)+b;
yrand = y + 0.5*rand(1,size(y,2));

%%最小二乘擬合
xf=log(x);
yf=yrand;

xfa = [ones(1,size(xf,2));xf]
w = inv(xfa*xfa')*xfa*yf';%直接擬合得到的結果

 

　　參考資料：

　　1、http://blog.csdn.net/lotus___/article/details/20546259

　　2、http://blog.sina.com.cn/s/blog_5404ea4f0101afth.html

 

2、matlab呼叫函式實現最小二乘法

利用matlab的最小二乘擬合函式對非線性函式進行擬合，具體地擬合的函式：

[q r] = lsqcurvefit(fun, q_0, xdata, ydata);
輸入引數：
fun：需要擬合的函式，假定有n個需要擬合的引數，那麼 q = [q1,q2,...,qn]
q_0：表示使用者給定的一個起始點
xdata：函式的自變數
ydata：函式的因變數
輸出引數：
q：表示求解得到的最優引數
r：表示最小二乘的目標函式值，即殘差。

實現程式碼

close
x = 1:1:100;
a = -1.5;
b = -10;
y = a*log(x)+b;
plot(x,y);

yrand = y + 0.5*rand(1,size(y,2));
plot(x,yrand,'ro');

%%最小二乘擬合
xf=log(x);
yf=yrand;
f=inline('a(1)+a(2).*x','a','x');
[q,r]=lsqcurvefit(f,[1,0],xf,yf)
plot(x,yrand,'ro','LineWidth',2) %繪製圖表
hold on;

%%繪製擬合曲線
yn = q(1)+q(2)*log(x);
hold on;
plot(x,yn,'b','LineWidth',2);

%%設定Legend
hleg = legend(['原始函式(y=' num2str(b,3) '+' num2str(a,3) 'ln(x)' ')資料'],['擬合結果：y=' num2str(q(1),3) '+' num2str(q(2),3) 'ln(x)'],'Location','NorthEast');%本身不能設定字型的大小,需要通過set進行設定
set(hleg,'FontSize', 15, 'FontAngle','italic','FontWeight','bold',...
     'TextColor',[.6,.2,.1],'Color',[1,1,1]);%Color為設定座標的背景顏色
 
 %%設定標題
 title('最小二乘擬合：y=a+b*ln(x)','Color','k','FontSize',20);
 
 %%座標軸標題設定
 xlabel('x','Color','k','FontSize',15);%橫軸標題
 ylabel('y','Color','k','FontSize',15);%縱軸標題
 
%%儲存影象
set(1, 'InvertHardCopy', 'off');%設定的背景色有效,如果為on則圖形不儲存背景色，maltab 預設為 on
filename = 'lnx';
print(1, '-djpeg', filename);%其他格式 -djpeg,-dpng,-dbmp,-dtiff,-dgif

 　　附件：最小二乘matlab.zip

 

擬合結果

如下圖所示

 

3、Excel的實現

使用 lenest函式進行最小二乘擬合，對以上生成的資料進行擬合，擬合結果和matlab是一致的。

已知擬合函式y=ax+b,那麼

斜率計算公式為：

　　a = lenest(ydata,xdata,,FALSE)

截距計算公式為：

　　b = index(lenest(ydata,xdata),,FALSE),2)

 

擬合的程式碼，請查閱附件：最小二乘擬合.xlsx，包含了帶噪聲的原始資料，擬合公式，擬合結果圖

擬合結果如下圖所示：

 

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